Пројекат број 144014

Геометрија и топологија многострукости и интеграбилни динамички системи

Министарства за науку, технологије и развој Републике Србије

Истраживачи ангажовани на пројекту:

Резиме: Циљ пројекта је истраживање високог нивоа базирано на мултидисциплинарним техникама савремене алгебарске и диференцијалне геометрије и топологије. Посебан акценат је на применама у теорији интеграбилних динамичких система и геометријској комбинаторици. Очекивани резултати су груписани у неколико истраживачких тема међу којим су и следеће: аксиоматизација Хес-Апељротових система, изохоломорфни интеграбилни системи, Лакс-репрезентације и геометрија Примових варијетета, интеграбилни магнетни токови на хомогеним просторима, заснивање геометрије комбинаторних групоида (М. Јосвиг, ТУ Берлин) и развој паралелног померања Hom-комплекса (граф комплекса) над овим групоидима са применама на генералисану Ловашову хипотезу (math.CO-0506075). Нове примене овог модела укључују анализу кубних комплекса неуложивих у кубне решетке (проблем С. П. Новикова у вези са 3д-моделом Исинга). Примене нормалних бордизама и комбинаторике Грејевих кодова на еквипартиције мера у R^d са d хиперповршима (Гринбаум 1960, Хадвигер 1966), видети и arXiv:math.CO/0412483. Геометрија Штифелових варијетета и интеграбилни системи. Интеграбилни билијари, периодичне трајекторије и праменови квадрика.

Предмет, опис и значај истраживања: Предмет пројекта у целини је изучавање дубоке интеракције Геометрија и Топологије са осталим централним областима математике, као и интеракција са другим областима (математичка физика, рачунарска и дискретна математика итд). Пројекат је замишљен као један од кључних у фундаменталним наукама у Србији са јаком интернационалним карактером и израженим потенцијалом за интеграцију у међународне (европске) мреже пројеката сличне оријентације. У ужем смислу, акценат у истраживањима је на интеграбилним динамичким системима и на геометријској и тополошкој комбинаторици. У ширем смислз, акценат је на дубоким интеракцијама наведених области са осталим дисциплинама, као и на изучавању важних математичких конструкција и техника. Међу темама од посебног значаја, којима ће бити указана посебна пажња и које илуструју опсег и мултидисциплинарност пројекта су и следеће: матрични Лаксови полиноми, системи крутог тела и геометрија Примових варијетета, изохоломорфни системи, системи Хес-Апељротовог типа, изоспектралне и изомонодромне деформације, везе са Фробенијусовим многострукостима, тета-функције и примене итд. Интеграбилни системи на Лијевим групама и хомогеним просторима, интеграбилни геодезијски потоци, Понселеова теорема, Кејлијев услов и серпарабилност, геометрија Штекелових простотра, Апелове хипергеометријске функције, хиперелиптичке криве и редукције тета-функција итд. Нехолономна механика: геометрија, интеграбилни модели и Хамилтонизација. Аналитичка и комбинаторна својства Абел-Јакобијевог пресликавања. Аранжмани афиних и других потпростора и њихови комплементи.

Планирани резултати пројекта: Аксиоматизација Хес-Апељротових система, њихове геометрије и динамике, изохоломорфни интеграбилни системи, Лаксове репрезентације и геометрија Примових варијетета. Магнетни токови на хомогеним просторима, Лакс репрезентације и компатибилне Пуасонове структуре. Заснивање геометрије комбинаторних групоида (М. Јосвиг, ТУ Берлин) и развој паралелног померања Hom-комплекса над овим групоидима са применама на генералисану Ловашову хипотезу (math.CO-0506075). Нове примене овог модела укључују анализу кубних комплекса неуложивих у кубне решетке (проблем С. П. Новикова у вези са 3д-моделом Исинга). Примене нормалних бордизама и комбинаторика Грејевих кодова на еквипартиције мера у R^d са d хиперповршима (Гринбаум 1960, Хадвигер 1966), видети и arXiv:math.CO/0412483. Геометрија Штифелових варијетета, интеграбилни геодезијски токови и потенцијални системи. Динамика интеграбилних билијара и геометрија праменова квадрика. Хамилтонизација вишедимензионалног Чаплигиновог проблема котрљајуће лопте.