Seminar for Geometry, education and visualization with applications
PROGRAM
MATEMATICKI INSTITUT SANU
Seminar geometriju, obrazovanje i vizualizaciju sa primenama
PLAN RADA ZA DECEMBAR 2006.
CETVRTAK, 07. decembar 2006. u 16 sati
Prof. dr Matti Vuorinen, University of Helsinki, Finland
Conformal Geometry and Quasiregular Mappings
Abstract: The talk deals with the various invariants and associated metrics, in the theory of quasiconformal and quasiregular mappings. We first give an overview of quasiconformal mapping theory and then discuss geometric properties of these mappings such as quasiconformal images of spheres. Several metrics are discussed such as the hyperbolic metric and quasihyperbolic metric as well as certain capacity related metrics. To a large extent the local structure of these metric spaces is still open. For instance, the convexity of balls of small radii is open. Various special cases of these questions are numerous and provide future challences.
CETVRTAK, 14. decembar 2006. u 16 sati
Ana Hinic, Prirodno-matematicki fakultet, Kragujevac
Levo-invarijantne Lorencove metrike na Lijevim grupama
APSTRAKT: Na predavanju će biti izlo~^eni rezultati rada K. Nomizu-a ŤLeft-invariant Lorentz metrics on Lie groupsť, Osaka J. Math. 16 (1979), 143 ~V 150 . Dokazano je da za proizvoljnu re~Zivu Lijevu grupu G, svaka levo-invarijantna Lorencova metrika ima konstantnu sekcionu krivinu, kao i da za proizvoljnu konstantu kÎR uvek mo~^emo naći levo-invarijantnu Lorencovu metriku na G takvu da je sekciona krivina konstantna i jednaka k. Takodje je pokazano da svaka od 3-dimenzionih Lijevih grupa E(2), E(1,1) i Heisenberg-ova grupa dopu~Zta ravnu levo-invarijantnu Lorencovu metriku.
CETVRTAK, 21. decembar 2006. u 17 sati
Nema redovnog predavanja
CETVRTAK, 28. decembar 2006. u 17 sati
Prof. dr Miloje M. Rakočević, Odsek za hemiju PMF Univerziteta u Ni~Zu, PMF, Nis, Masinski fakultet, Beograd
GENETSKI KÔD KAO HARMONIJSKI SISTEM
Apstrakt: U predavanju se predočavaju ključni momenti iz istorije otkrića, poimanja i razumevanja genetskog koda, kao i (neka) aktuelna saznanja. Posebno se obrazla~^e (sopstvena) hipoteza o kompletnom genetsdkom kodu, takvom da on predstavlja skup specifičnih harmonijskih struktura koje, sve zajedno, omogućavaju sagledavanje genetskog koda kao svojevrsnog harmonijskog sistema. Pri tome se pod harmonijom podrazumeva jedinstvo forme i su~Ztine, to jest koherencija fizičko-hemijskih svojstava i ravnote~^â broja atoma i nukleona (xą0, xą1; yą0, yą1) u molekulima, konstituentima genetskog koda ~V aminobaznim i aminokiselinskim molekulima
CETVRTKOM, u 17 sati SPECIJALNI KURS
Prof. dr Ivko Dimitric, Penn State University
Grasmanove algebre i Grasmanove mnogostrukosti
U ovom kursu cemo pokusati predstaviti teoriju Grasmanovih mnogostrukosti i njihovu geometriju na jedan, donekle zaokruzen i progresivan (ali svakako ne i iscrpan) nacin, dostupan studentima poslediplomcima i vrlo naprednim studentima osnovnog studija matematike koji poseduju temeljno znanje iz linearne algebre i diferencijalne geometrije. Prvo cemo razviti formalizam spoljasnje (Grasmanove) algebre, pojam polivektora i Plücker-ovih koordinata ravni ukljucujuci tu i Hodge *-operator [6, 12]. Ovo ce se onda primeniti na teoriju kalibracija koja se zgodno primenjuje da se dokaze da izvesne podmnogostrukosti imaju najmanju zapreminu u svojoj klasi homologije [7, 10, 11]. Kao jedno uopstenje navescemo ternarne Grasmanove algebre koje su od izvesnog znacaja u fizici.
Opstu Grasmanovu mnogostrukost cemo definisati na nekoliko nacina [3, 4, 8, 9, 13, 15], jedan od kojih je Plücker-ov model preko razlozivih polivektora u euklidskom prostoru. Ovo se posebno primenjuje u slucaju realnog (orjentisanog i neorjentisanog) grasmanijana G(k, l) gde cemo slediti rad Kozlova [8] i posebno se osvrnuti na zatvorene geodezijske linije i radijus injektivnosti. Jedan od nacina da se Grasmanova mnogostrukost predstavi kao podmnogostrukost euklidskog prostora je i utapanje preko projektivnih operatora razradjeno u [4, 5]. Osnovne invarijante ovog utapanja (metrika, druga osnovna forma, operator oblika, krivina) se zgodno predstavljaju vektorima/matricama i primenjuju se na izucavanje nekih podmnogostrukosti grasmanijana. Od posebnog interesa je razmatranje hiperpovrsi Grasmanove mnogostrukosti tipa 1 kojima cemo se takodje pozabaviti.
Jedna interesantna primena je u statistici, naime kako definisati pojam srednje vrednosti i (ko)varijanse kada parametri ne pripadaju euklidskom prostoru vec nekoj mnogostrukosti (obicno nekoj Liovoj grupi ili Grasmanovoj mnogostrukosti)? Definisacemo unutrasnju i spoljasnju srednju vrednost sa (otvorenim) problemom ocene razlike izmedju ove dve srednje vrednosti.
Slucaj kompleksne Grasmanove mnogostrukosti ranga 2 je od posebnog znacaja jer ona poseduje u isto vreme i Kelerovu i kvaternionsko-Kelerovu strukturu. Za pojasnjenje ove situacije koristicemo rad Bernda [1].
Bice razmotreno I nekoliko otvorenih problema za dalje istrazivanje.
LITERATURA
1. J. Berndt, Riemannian geometry of complex two-plane Grassmannians, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 55 (1997), 19-83.
2. N. Bokan, P. Matzeu, and Z. Rakic. Geometric quantities of manifolds with Grassmann structure. Nagoya Math. J., 180 (2005), 45- 76.
3. A. Borisenko, Yu. Nikolaevski, Grassmann manifolds and the Grassmann image of submanifold, Russian Math. Surveys, 46 (1991), 45-94.
4. I. Dimitric. A note on equivariant embeddings of Grassmannians, Publ. Inst. Math. (Beograd) 59 (1996), 131-137.
5. I. Dimitric. Grassmannians via projection operators and some of their special submanifolds, Proc. Conf. Diff. Geom. and Related Topics , Beograd 2006, to appear.
6. H. Federer, Geometric Measure Theory, Berlin, Springer Verlag 1969.
7. R. Harvey, H. B. Lawson. Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1980), 47-157.
8. S. Kozlov. Geometrija realnih Grasmanovih mnogostrukosti, Zap. Naucn. Sem. Mat. Inst. Steklov (POMI), 246 (1997), Geom. I Topol. 2, 84-129.
9. K. Leichtweiss, Zur Riemannschen Geometrie in Grassmannschen Mannigfaltigkeiten, Math. Z. 76 (1961), 334 - 346.
10. F. Morgan. The exterior algebra ^kRn and area minimization, Linear Algebra Appl. 66 (1985), 1- 28.
11. F. Morgan. Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians and calibrations, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 813-822.
12. M. Postnikov, Linearna Algebra i Analiticka Geometrija. Lekcije iz Geometrije - Semestar 2, Moskva, Nauka 1979 (na ruskom).
13. C. Teleman. Sur les variétés de Grassmann, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie (N.S.) 2 (1958), 202-224.
14. J. A. Wolf. Elliptic spaces in Grassmann manifolds, Illinois J. Math. 7 (1963), 447-462.
15. Y. C. Wong. Differential geometry of Grassmann manifolds, Proc. Nat. Acad. USA 57:3 (1967), 589-594.
Sednice seminara odrzavaju se u zgradi Srpske akademije nauka i umetnosti, Beograd, Knez Mihailova 35, na prvom spratu u sali 2.
Obave~Ztamo slu~Zaoce kursa Grasmanove algebre i Grasmanove mnogostrukosti da će se u periodu 27.11. 2006 do 18.12.2006 časovi odr~^avati intenzivirano u ovim terminima:Ponedeljak 12:30- 15:30 Sala 839
Sreda 12:30-15:30 Sala 839
Četvrtak 16:00-19:00 Sala 2 SANU
Subota 10:30-13:30 Sala 840
Ovaj intenzivirani deo kursa je u okviru programa Brain Gain Program u organizaciji WUS- Austria. Teme koje ćemo obrađivati biće sledeće:
1. Hodge-ov *-operator i algebra polivektora
2. Teorija kalibracija
3. Diferencijalna geometrija orijentisane realne Grasmanove mnogostrukosti
4. Op~Zte Grasmanove mnogostrukosti kori~Zćenjem projektivnih operatora
5. Neke specijalne podmnogostrukosti Grasmanovih mnogostrukosti
6. Primene u statistici i procesovanje signala
Rukovodilac Seminara dr Mirjana Djoric