﻿

Seminar for Geometry, education and visualization with applications

PROGRAM

MATEMATICKI INSTITUT SANU
Seminar geometriju, obrazovanje i vizualizaciju sa primenama

CETVRTAK, 05. oktobar 2006. u 17 sati
dr Masafumi Okumura, Professor Emeritus of Saitama University
Scalar curvature of CR submanifolds of maximal CR dimension of complex projective space

Abstract: We study an n-dimensional compact minimal CR submanifolds of maximal CR dimension and give a sufficient condition for the submanifold to be a tube over totally geodesic complex subspace.

CETVRTAK, 12. oktobar 2006. u 17 sati
Princip dualnosti za Osermanove mnogostrukosti

Apstrakt: Centralna tema predavanja bice princip dualnosti u teoriji pseudo-Rimanovih Osermanovih mnogostrukosti. Princip dualnosti je postavio Z. Rakic u svom radu iz 1999. godine i dokazao da on vazi u Rimanovom slucaju. Prosiricemo definiciju na pseudo-Rimanov slucaj i pokusati da ustanovimo da li u njemu mora vaziti princip dualnosti. Neki od originalnih rezultata su da princip dualnosti vazi u dimenziji 4, kao i da vazi za dijagonalizabilne mnogostrukosti koje nemaju izotropan sopstveni vektor. Predavanje je bazirano na magistarskoj tezi koja ce uskoro ugledati svetlost dana.

CETVRTAK, 19. oktobar 2006. u 16 sati
Prof. dr Ivko Dimitric, Penn State University
Grasmanove algebre i Grasmanove mnogostrukosti (specijalni kurs)

CETVRTAK, 26. oktobar 2006. u 17 sati
dr Branko Dragovic, Institut za fiziku,
p-Adic model of the genetic code

Abstract: Using some basic properties of p-adic numbers, particularly 5-adic integers, a simple p-adic model of the genetic code was formulated recently. The information space of codons is introduced by assigning 5-adic positive integers to them. We found that genetic code degeneracy is related to the p-adic distance between codons: p-adically close codons correspond to the same amino-acid. This talk is based on the paper ~QA p-Adic Model of DNA Sequence and Genetic Code~R available at arXiv: q-bio.GN/0607018 and some new results.

CETVRTKOM, u 16 sati SPECIJALNI KURS
Prof. dr Ivko Dimitric, Penn State University

Grasmanove algebre i Grasmanove mnogostrukosti

U ovom kursu cemo pokusati predstaviti teoriju Grasmanovih mnogostrukosti i njihovu geometriju na jedan, donekle zaokruzen i progresivan (ali svakako ne i iscrpan) nacin, dostupan studentima poslediplomcima i vrlo naprednim studentima osnovnog studija matematike koji poseduju temeljno znanje iz linearne algebre i diferencijalne geometrije. Prvo cemo razviti formalizam spoljasnje (Grasmanove) algebre, pojam polivektora i Plücker-ovih koordinata ravni ukljucujuci tu i Hodge *-operator [6, 12]. Ovo ce se onda primeniti na teoriju kalibracija koja se zgodno primenjuje da se dokaze da izvesne podmnogostrukosti imaju najmanju zapreminu u svojoj klasi homologije [7, 10, 11]. Kao jedno uopstenje navescemo ternarne Grasmanove algebre koje su od izvesnog znacaja u fizici.

Opstu Grasmanovu mnogostrukost cemo definisati na nekoliko nacina [3, 4, 8, 9, 13, 15], jedan od kojih je Plücker-ov model preko razlozivih polivektora u euklidskom prostoru. Ovo se posebno primenjuje u slucaju realnog (orjentisanog i neorjentisanog) grasmanijana G(k, l) gde cemo slediti rad Kozlova [8] i posebno se osvrnuti na zatvorene geodezijske linije i radijus injektivnosti. Jedan od nacina da se Grasmanova mnogostrukost predstavi kao podmnogostrukost euklidskog prostora je i utapanje preko projektivnih operatora razradjeno u [4, 5]. Osnovne invarijante ovog utapanja (metrika, druga osnovna forma, operator oblika, krivina) se zgodno predstavljaju vektorima/matricama i primenjuju se na izucavanje nekih podmnogostrukosti grasmanijana. Od posebnog interesa je razmatranje hiperpovrsi Grasmanove mnogostrukosti tipa 1 kojima cemo se takodje pozabaviti.

Jedna interesantna primena je u statistici, naime kako definisati pojam srednje vrednosti i (ko)varijanse kada parametri ne pripadaju euklidskom prostoru vec nekoj mnogostrukosti (obicno nekoj Liovoj grupi ili Grasmanovoj mnogostrukosti)? Definisacemo unutrasnju i spoljasnju srednju vrednost sa (otvorenim) problemom ocene razlike izmedju ove dve srednje vrednosti.

Slucaj kompleksne Grasmanove mnogostrukosti ranga 2 je od posebnog znacaja jer ona poseduje u isto vreme i Kelerovu i kvaternionsko-Kelerovu strukturu. Za pojasnjenje ove situacije koristicemo rad Bernda [1].

Bice razmotreno I nekoliko otvorenih problema za dalje istrazivanje.

LITERATURA

1. J. Berndt, Riemannian geometry of complex two-plane Grassmannians, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 55 (1997), 19-83.
2. N. Bokan, P. Matzeu, and Z. Rakic. Geometric quantities of manifolds with Grassmann structure. Nagoya Math. J., 180 (2005), 45- 76.
3. A. Borisenko, Yu. Nikolaevski, Grassmann manifolds and the Grassmann image of submanifold, Russian Math. Surveys, 46 (1991), 45-94.
4. I. Dimitric. A note on equivariant embeddings of Grassmannians, Publ. Inst. Math. (Beograd) 59 (1996), 131-137.
5. I. Dimitric. Grassmannians via projection operators and some of their special submanifolds, Proc. Conf. Diff. Geom. and Related Topics , Beograd 2006, to appear.
6. H. Federer, Geometric Measure Theory, Berlin, Springer Verlag 1969.
7. R. Harvey, H. B. Lawson. Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1980), 47-157.
8. S. Kozlov. Geometrija realnih Grasmanovih mnogostrukosti, Zap. Naucn. Sem. Mat. Inst. Steklov (POMI), 246 (1997), Geom. I Topol. 2, 84-129.
9. K. Leichtweiss, Zur Riemannschen Geometrie in Grassmannschen Mannigfaltigkeiten, Math. Z. 76 (1961), 334 - 346.
10. F. Morgan. The exterior algebra ^kRn and area minimization, Linear Algebra Appl. 66 (1985), 1- 28.
11. F. Morgan. Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians and calibrations, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 813-822.
12. M. Postnikov, Linearna Algebra i Analiticka Geometrija. Lekcije iz Geometrije - Semestar 2, Moskva, Nauka 1979 (na ruskom).
13. C. Teleman. Sur les variétés de Grassmann, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie (N.S.) 2 (1958), 202-224.
14. J. A. Wolf. Elliptic spaces in Grassmann manifolds, Illinois J. Math. 7 (1963), 447-462.
15. Y. C. Wong. Differential geometry of Grassmann manifolds, Proc. Nat. Acad. USA 57:3 (1967), 589-594.

Sednice seminara odrzavaju se u zgradi Srpske akademije nauka i umetnosti, Beograd, Knez Mihailova 35, na prvom spratu u sali 2.

Rukovodilac Seminara dr Mirjana Djoric