Seminar for Geometry, education and visualization with applications
PROGRAM
MATEMATIČKI INSTITUT SANU
Seminar geometriju, obrazovanje i vizualizaciju sa primenama
PLAN RADA ZA OKTOBAR 2010.
ČETVRTAK, 07.10.2010. u 17 sati, sala 706, MF
Odbrane master radova Marijane Babic u 17:15h i Borisa Ajdina u 18:30h
VIZUALIZACIJA PROSTORA LOBACEVSKOG i REJTREJSING U POENKAREOVOM SFERNOM MODELU HIPERBOLICKOG PROSTORA
A1: Sustina vizualizacije u racunarskoj grafici je centralno projektovanje prostora na ekran racunara, matematicki receno, projekcija euklidskog prostora na euklidsku ravan. Medutim, matematika poznaje i druge prostore, kao sto je prostor Lobacevskog. Dosadasnji radovi koji su se bavili vizualizacijom prostora Lobacevskog odnosili su se na centralno projektovanje prostora Lobacevskog na ravan Lobacevskog. Problem tog pristupa je kako prikazati dobijenu projekciju na ekranu racunara, koji je po svojoj prirodi euklidska ravan i nije izometrican ravni Lobacevskog. U ovom radu je primenjen drugaciji pristup: ekran racunara je smesten u prostor Lobacevskog, pa se projekcija vrsi direktno na njega. Euklidskoj ravni (ekranu) u prostoru Lobacevskog odgovara povrs orisfere. Zato se u ovom radu vizualizacija prostora Lobacevskog vrsi centralnim projektovanjem na orisferu. Razvijen je potreban matematicki alat i kreiran softver u programskom jeziku Mathematica za centralno projektovanje prostora Lobacevskog na orisferu. Napisane su funkcije projekcije i implementirane izometrije, sto omogucava stvaranje animacija u realnom vremenu i utisak kretanja unutar prostora Lobacevskog. Dati su mnogi interesantni primeri projekcije Platonovih tela i izometrija nad njima. Neke od mogucih primena kreiranog softvera su za prikaz rezultata dobijenih u naucnim istrazivanjima u oblasti geometrije Lobacevskog, za prikaz stereoskopskog gledanja i stvaranje 3D animacija koristeci projekcije iz dve tacke, ili u nastavne svrhe i za popularizaciju matematike.
A2: Intenzivan razvoj racunarstva od polovine XX veka doprineo je razvoju uredaja i algoritama koji za osnovni cilj imaju graficki prikaz i vizualizaciju sveta koji nas okruzuje. Jedan od najstarijih i najpoznatijih algoritama racunarskje grafike je rejtrejsing algoritam koji resava problem globalnog osvetljenja i omogudava kreiranje foto-realisticnih prikaza trodimenzionih scena. Koristedi parametre scene poput geometrijskog opisa objekata prisutnih u sceni, parametre materijala i osvetljenja, rejtrejsing algoritam izracunava koji su objekti vidljivi za posmatraca u sceni, kao i visestruke interakcije svetlosti sa datim objektima, simulirajudi komplikovane fizicke reakcije iz stvarnog sveta. S druge strane, hiperbolicki prostor je intrigantna geometrijska struktura koja se cesto kosi sa nasom intuicijom, po prirodi euklidskom. U nameri da kreiramo alat za vizualizaciju hiperbolickog prostora i ispitivanje njegovih osobina, razvili smo verziju rejtrejsing algoritma u hiperbolickom prostoru koja nije do sada postojala. U daljem tekstu bide prikazani razvijeni algoritam, odredeni problemi sa kojima smo se susreli, predlozena resenja i dosadasnji rezultati. Ova teza je nastavak rada o hiperbolickom rejtrejsing algoritmu koji je nagraden godisnjom nagradom Univerziteta u Beogradu 2006. godine kao najbolji studentski naucni rad iz oblasti tehnickih nauka (Ajdin et al., 2006).
ČETVRTAK, 14.10.2010. u 17 sati, sala 301f, MI
Djordje Baralic
TEOREME HELIJEVOG TIPA IZVEDENE PREKO SINGULARNE HOMOLOGIJE
Apstrakt: U ovom predavanju izlozicemo istoimeni rad H.E. Debrunner. Dokazacemo Helijevu teoremu koristeci singularnu homologiju, a zatim i pokazati neke interesantne generalizacije u slucajevima Rimanovih mnogostrukosti, koja nam daju parcijalne rezultate u razumevanju preseka n-mnogostrukosti.
ČETVRTAK, 21.10.2010. u 17 sati, sala 301f MI SANU
Vladica Andrejic
PRINCIP DUALNOSTI I FIDLEROVI TENZORI
Apstrakt: Poznato je da princip dualnosti vazi za Rimanove Osermanove mnogostrukosti. Ovoga puta pitamo se mora li tenzor krivine za koji vazi princip dualnosti biti Osermanov. Potvrdan odgovor dajemo u slucaju dimenzije tri. Po rezultatima Fidlera, svaki tenzor krivine moze se raspisati kao linearna kombinacija tenzora krivine koji su generisani koso simetricnom bilinearnom formom. Pokusacemo da zapisemo princip dualnosti preko Fidlerovih tenzora, a pozitivan odgovor na nase pitanje imamo i u slucaju samo jednog Fidlerovog clana.
ČETVRTAK, 28.10.2010. u 17 sati, sala 301f, MI SANU
Jelena Grujic
REPREZENTACIJE SIMETRICNE GRUPE
Apstrakt: Prvo ce biti reci o opstoj teoriji reprezentacije konacnih grupa, a potom o reprezentacijama simetricne grupe.
Sednice seminara odrzavaju se u zgradi Matematickog instituta SANU, Knez-Mihailova 36, na trecem spratu u sali 301f.
Rukovodilac Seminara dr Miroslava Antic