Seminar for Geometry, education and visualization with applications

PROGRAM

CETVRTAK, 02. novembar 2006. u 17 sati
Mirjana Milijevic, Prirodno matematicki fakultet u Banja Luci
Fundamentalna grupa diferencijabilnih mnogostrukosti sa negativnom krivinom

Apstrakt: Zasto proucavati fundamentalnu grupu mnogostrukosti sa negativnom krivinom? Egzistencija zatvorenih geodezijskih linija: Cartan-ova teorema sa dokazom. Osobine komutativne podgrupe fundamentalne grupe kompaktne mnogostrukosti sa negativnom krivinom, metrika torusa. Da li je fundamentalna grupa kompaktne mnogostrukosti sa negativnom krivinom komutativna? Preissman-ova teorema sa dokazom. Da li tvrdjenje Preissman-ove teoreme vrijedi i u slucaju rijesive podgrupe fundamentalne grupe mnogostrukosti sa negativnom krivinom? Byers-ova teorema sa dokazom.

CETVRTAK, 9. novembar 2006. u 17 sati
Nema redovnog predavanja

CETVRTAK, 16. novembar 2006. u 17 sati
Nema redovnog predavanja

CETVRTAK, 23. novembar 2006. u 17 sati
Tatjana Simcevic, Matematicki fakultet u Beogradu,
Povezanosti na vektorskim raslojenjima

Apstrakt: Na ovom predavanju bice izlozene osnove teorije povezanosti na vektorskim raslojenjima.

Literatura: M. M. Postnikov, Geometry VI-Remannian geometry, Springer, Berlin 1998, glave 34 i 35.

CETVRTAK, 30.11.2006. u 17 sati
dr Srdjan Vukmirovic, Matematicki fakultet u Beogradu,
Hopfovo raslojenje u kompjuterskoj grafici

Apstrakt: Rotacije u prostoru, koje su ceste u kompjuterskoj grafici, se na prirodan nacin izrazavaju preko kvaterniona, a samim tim dovode u vezu sa Hopfovim raslojenjem $S^1->S^3->S^2.$ Takodje, prilikom crtanja krivih i povrsi u prostoru, prirodno se namece izbor pokretnog repera na tim objektima. Taj reper pripada prostoru $SO(3) = S^3/\pm 1$, pa se moze smatrati da pripada totalnom prostoru Hopfovog raslojenja. Ovo su samo neki nacini da objekte kompjuterske grafike vidimo kroz Hopfovo raslojenje. Na predavanju ce biti reci o tome kako se neki slozeni problemi kompjuterske grafike mogu resiti upotrebom Hopfovog raslojenja i povezanosti na njemu.

CETVRTKOM, u 16 sati SPECIJALNI KURS
Prof. dr Ivko Dimitric, Penn State University

Grasmanove algebre i Grasmanove mnogostrukosti

U ovom kursu cemo pokusati predstaviti teoriju Grasmanovih mnogostrukosti i njihovu geometriju na jedan, donekle zaokruzen i progresivan (ali svakako ne i iscrpan) nacin, dostupan studentima poslediplomcima i vrlo naprednim studentima osnovnog studija matematike koji poseduju temeljno znanje iz linearne algebre i diferencijalne geometrije. Prvo cemo razviti formalizam spoljasnje (Grasmanove) algebre, pojam polivektora i Plücker-ovih koordinata ravni ukljucujuci tu i Hodge *-operator [6, 12]. Ovo ce se onda primeniti na teoriju kalibracija koja se zgodno primenjuje da se dokaze da izvesne podmnogostrukosti imaju najmanju zapreminu u svojoj klasi homologije [7, 10, 11]. Kao jedno uopstenje navescemo ternarne Grasmanove algebre koje su od izvesnog znacaja u fizici.

Opstu Grasmanovu mnogostrukost cemo definisati na nekoliko nacina [3, 4, 8, 9, 13, 15], jedan od kojih je Plücker-ov model preko razlozivih polivektora u euklidskom prostoru. Ovo se posebno primenjuje u slucaju realnog (orjentisanog i neorjentisanog) grasmanijana G(k, l) gde cemo slediti rad Kozlova [8] i posebno se osvrnuti na zatvorene geodezijske linije i radijus injektivnosti. Jedan od nacina da se Grasmanova mnogostrukost predstavi kao podmnogostrukost euklidskog prostora je i utapanje preko projektivnih operatora razradjeno u [4, 5]. Osnovne invarijante ovog utapanja (metrika, druga osnovna forma, operator oblika, krivina) se zgodno predstavljaju vektorima/matricama i primenjuju se na izucavanje nekih podmnogostrukosti grasmanijana. Od posebnog interesa je razmatranje hiperpovrsi Grasmanove mnogostrukosti tipa 1 kojima cemo se takodje pozabaviti.

Jedna interesantna primena je u statistici, naime kako definisati pojam srednje vrednosti i (ko)varijanse kada parametri ne pripadaju euklidskom prostoru vec nekoj mnogostrukosti (obicno nekoj Liovoj grupi ili Grasmanovoj mnogostrukosti)? Definisacemo unutrasnju i spoljasnju srednju vrednost sa (otvorenim) problemom ocene razlike izmedju ove dve srednje vrednosti.

Slucaj kompleksne Grasmanove mnogostrukosti ranga 2 je od posebnog znacaja jer ona poseduje u isto vreme i Kelerovu i kvaternionsko-Kelerovu strukturu. Za pojasnjenje ove situacije koristicemo rad Bernda [1].

Bice razmotreno I nekoliko otvorenih problema za dalje istrazivanje.

LITERATURA

1. J. Berndt, Riemannian geometry of complex two-plane Grassmannians, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 55 (1997), 19-83.
2. N. Bokan, P. Matzeu, and Z. Rakic. Geometric quantities of manifolds with Grassmann structure. Nagoya Math. J., 180 (2005), 45- 76.
3. A. Borisenko, Yu. Nikolaevski, Grassmann manifolds and the Grassmann image of submanifold, Russian Math. Surveys, 46 (1991), 45-94.
4. I. Dimitric. A note on equivariant embeddings of Grassmannians, Publ. Inst. Math. (Beograd) 59 (1996), 131-137.
5. I. Dimitric. Grassmannians via projection operators and some of their special submanifolds, Proc. Conf. Diff. Geom. and Related Topics , Beograd 2006, to appear.
6. H. Federer, Geometric Measure Theory, Berlin, Springer Verlag 1969.
7. R. Harvey, H. B. Lawson. Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1980), 47-157.
8. S. Kozlov. Geometrija realnih Grasmanovih mnogostrukosti, Zap. Naucn. Sem. Mat. Inst. Steklov (POMI), 246 (1997), Geom. I Topol. 2, 84-129.
9. K. Leichtweiss, Zur Riemannschen Geometrie in Grassmannschen Mannigfaltigkeiten, Math. Z. 76 (1961), 334 - 346.
10. F. Morgan. The exterior algebra ^kRn and area minimization, Linear Algebra Appl. 66 (1985), 1- 28.
11. F. Morgan. Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians and calibrations, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 813-822.
12. M. Postnikov, Linearna Algebra i Analiticka Geometrija. Lekcije iz Geometrije - Semestar 2, Moskva, Nauka 1979 (na ruskom).
13. C. Teleman. Sur les variétés de Grassmann, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie (N.S.) 2 (1958), 202-224.
14. J. A. Wolf. Elliptic spaces in Grassmann manifolds, Illinois J. Math. 7 (1963), 447-462.
15. Y. C. Wong. Differential geometry of Grassmann manifolds, Proc. Nat. Acad. USA 57:3 (1967), 589-594.

Sednice seminara odrzavaju se u zgradi Srpske akademije nauka i umetnosti, Beograd, Knez Mihailova 35, na prvom spratu u sali 2.