Projekat 144032
Geometrija, obrazovanje i vizuelizacija sa primenama
Rukovodilac: dr Zoran Rakić
Rezime
Ovaj projekat je nastavak niza uspešnih geometrijskih projekata koje je
osnovala akademik Mileva Prvanović pre više od trideset godina. U početku je
razvijana klasična diferencijalna geometrija. Kasnije, osamdesetih godina
prošlog veka, istraživanja su proširena temama moderne diferencijalne
geometrije prepletene sa drugim oblastima kao što su globalna analiza,
topologija i algebra. Rukovodilac projekta u periodu 1991-2005 bila je prof.
Neda Bokan. Projekt je dobio sadašnje ime na početku prethodnog projektnog
perioda, 2002-2005, što je bilo motivisano novim trendovima kao i našom
saradnjom sa Tehničkim univerzitetom i Zuse institutom iz Berlina. Na
početku sadašnjeg projektnog perioda pridružile su nam se neke kolege koji
se bave matematičkom fizikom i teorijom verovatnoće i statistikom, i tako
ponovo proširile predmet istraživanja projekta. Predmet istraživanja
projekta sada pokriva nekoliko tema iz oblasti diferencijalne geometrije i
njenih primena u vizuelizaciji i obrazovanju kao i iz oblasti matematičke
fizike i teorije verovatnoće i statistike.
Predmet istraživanja
Predmet istraživanja projekta sastoji se od nekoliko tema iz oblasti
diferencijalne geometrije i njenih primena u vizuelizaciji i obrazovanju kao
i iz oblasti matematičke fizike i teorije verovatnoće i statistike.
Teme istraživanja projekta u oblasti:
- diferencijalne geometrije su: glatke mnogostrukosti i podmnogostrukosti
snabdevene
različitim strukturama, njihova geometrija i primene u opžtoj teoriji
relativnosti; geometrija i
topologija raslojenih prostora; Osermanove mnogostrukosti; reprezentacije
grupa na prostorima
tenzora krivine; homogeni i simetrični prostori; Lijeve grupe i algebre;
specijalne holonomije;
male geodezijske sfere; Čenove krivinske invarijante; kvantne grupe i
njihove primene; teorija
čvorova i linkova;
- matematičke fizike su: kvantni i klasični modeli na p-adičnim,
adeličnim i nekomutativnim
prostorima;
- verovatnoće i statistike su: stohastički, stacionarni i stabilni
procesi; Braunovo kretanje;
metode teorije verovatnoće i druge metode u kombinatorici;
- vizuelne matematike i računske geometrije su: vizuelizacija
geometrijskih rezultata i njihova
primena u obrazovanju; povezivanje empirijskih i teorijskih znanja u
računarski podržanoj
nastavi geometrije; izrada i primena softvera LinKnot u teoriji čvorova i
linkova.
Opis i značaj istraživanja
Diferencijalna geometrija intenzivno se razvija u svetu koristeći pored
analitičkog aparata i metode algebre (teorija reprezentacija grupa i algebri
i dr.), topologije i sl., što je inicirano potrebama proučavanja
odgovarjućih fenomena u oblasti teorijske mehanike, fizike.
Ova oblast prirodno se prepliće sa drugim oblastima matematike kao što su:
Lijeve grupe, kvantne grupe, globalna analiza, topologija, nekomutativna
geometrija, teorija gravitacije, teorija relativnosti i sl.
Rezultati diferencijalne geometrije koriste se npr. u statistici (geometrija
malih geodezijskih sfera i cevi), arhitekturi (minimale površi),
gradjevinarstvu (deformacije površi), genetskom inžinjeringu, itd.
Istraživanja u oblasti p-adične, adelične i nekomutativne geometrije
pripadaju novoj i aktuelnoj oblasti savremene matematičke fizike. Njihov
značaj je u ispitivanju nearhimedovskih i nekomutativnih osobina geometrije
prostor-vremena i kvantnih fenomena na veoma malim rastojanjima. Ona su
nastavak istraživanja na projektu MNTR (2002-2005), 1426 'Kvantni modeli na
nekomutativnim i adeličnim prostorima'.
Istraživanja u oblasti stohastičkih procesa, Braunovog kretanja i sl. veoma
su važna jer su primenjiva u kombinatorici, fizici, aktuarskoj i
finansijskoj matematici i drugim oblastima.
Kompjuterska grafika jedna je od najvažnijih oblasti računarstva i ne može
se ni zamisliti bez korišćenja diferencijalne geometrije krivih i površi,
kao ni bez primene odgovarajućih numeričkih metoda.
Problem vizuelizacije i animacije je jedan od najinteresantnijih savremenih
problema u računarstvu i u kojem je neophodan interdisciplinarni pristup.
Veliki projekt Evropske Unije, utvrdjen Bolonjskom deklaracijom, posvećuje
posebnu pažnju obrazovanju u oblasti geometrije uz korišćenje informatičkih
tehnologija.
U prethodnom periodu, uspeli smo polazeći od početne faze da stignemo do
visokog stepena razvoja geometrije, koji je rezultirao većim brojem
objavljenih radova u medjunarodnim časopisima. Veći broj medjunarodnih i
nacionalnih naučnih skupova organizovan je od strane članova ovog projekta
kao što su:
- medjunarodni skupovi u oblasti
- geometrije (International Conference on Differential geometry and
its Applications, 1988,
Contemporary geometry and related topics, 2002,
2005),
- vizualizacije (godišnji skupovi DAAD projekta 'Multimedia Technology
for
Mathematics and Computer
Science Education': 2004, 2005),
- matematičke fizike (Summer Schools of Modern Mathematical
Physics, 2001,
2002, 2004,
i 2nd International Conference on p-adic Mathematical Physics, 2005),
- nacionalni skupovi (vrlo često i sa inostranim učesnicima) u
oblasti
- geometrije (Geometrical Seminars, 1980-2004, ukupno četrnaest
skupova).
Zbornici radova mnogih od gore pomenutih naučnih skupova su publikovani, a
neki od njih u svetski poznatim izdavačkim kompanijama kao što su World
Scientific,
American
Institute of Physics, i sl..
Aktuelnost i naučnu vrednost ovih projekata u prethodnom periodu potvrdjuju i
mnogobrojni institucionalni i lični kontakti sa istaknutim institucijama i
pojedincima. Medjunarodna saradnja je razvijena i učešćem u medjunarodnim
projektima finansiranim od nemačke fondacije DAAD. Istaknimo samo
institucionalnu saradnju sa:
- Tehnički univerzitet, Berlin,
- Slobodni univerzitet, Berlin,
- Moskovski državni univerzitet, katedra za Diferencijalnu geometriju
i primene,
- Zuse institut, Berlin,
- Tor Vergata univerzitet, Rim
- Projekt 'Pavle Savić', francusko-srpska bilateralna saradnja,
- Matematički institut Steklova, Moskva,
- Abdus Salam medjunarodni centar za teorijsku fiziku, Trst.
Očekivani rezultati
Otkrivanje novih geometrijskih svojstava: glatkih mnogostrukosti
(pseudo-Rimanovih snabdevenih raznim povezanostima i dodatnim strukturama) i
njihove primene; Lijevih grupa i algebri; kvantnih grupa. Nalaženje
interakcija izmeu lokalnih i globalnih invarijanata mnogostrukosti i
raslojenja gradjenih nad njima. Istraživanje kvantnih i klasičnih modela na
p-adičnim, adeličnim i nekomutativnim prostorima. Izračunavanje
odgovarajućih n-dimenzionih Fajnmanovih integrala po putanjama i korekcija
standardnih fenomenoloških veličina. Otkrivanje novih asimptotskih svojstava
ekstremnih vrednosti stohastičkih procesa. Rad na programu LinKnot i njegova
primena u teoriji čvorova i linkova. Interakcija empirijskih i teorijskih
znanja u računarski podržanoj nastavi geometrije. Standardizacija i priprema
materijala za računarski podržano učenje na daljinu posredstvom Interneta.
Publikovanje dobijenih rezultata, organizovanje medjunarodnih skupova i
nastavak uspešne medjunarodne saradnje (projekta finansiranog od strane
nemačke fondacije DAAD), kao i dalja implementacija dobijenih rezultata u
praksi.