Projekat 144032

Geometrija, obrazovanje i vizuelizacija sa primenama

Rukovodilac: dr Zoran Rakić

Rezime

Ovaj projekat je nastavak niza uspešnih geometrijskih projekata koje je osnovala akademik Mileva Prvanović pre više od trideset godina. U početku je razvijana klasična diferencijalna geometrija. Kasnije, osamdesetih godina prošlog veka, istraživanja su proširena temama moderne diferencijalne geometrije prepletene sa drugim oblastima kao što su globalna analiza, topologija i algebra. Rukovodilac projekta u periodu 1991-2005 bila je prof. Neda Bokan. Projekt je dobio sadašnje ime na početku prethodnog projektnog perioda, 2002-2005, što je bilo motivisano novim trendovima kao i našom saradnjom sa Tehničkim univerzitetom i Zuse institutom iz Berlina. Na početku sadašnjeg projektnog perioda pridružile su nam se neke kolege koji se bave matematičkom fizikom i teorijom verovatnoće i statistikom, i tako ponovo proširile predmet istraživanja projekta. Predmet istraživanja projekta sada pokriva nekoliko tema iz oblasti diferencijalne geometrije i njenih primena u vizuelizaciji i obrazovanju kao i iz oblasti matematičke fizike i teorije verovatnoće i statistike.

Predmet istraživanja

Predmet istraživanja projekta sastoji se od nekoliko tema iz oblasti diferencijalne geometrije i njenih primena u vizuelizaciji i obrazovanju kao i iz oblasti matematičke fizike i teorije verovatnoće i statistike. Teme istraživanja projekta u oblasti:

Opis i značaj istraživanja

Diferencijalna geometrija intenzivno se razvija u svetu koristeći pored analitičkog aparata i metode algebre (teorija reprezentacija grupa i algebri i dr.), topologije i sl., što je inicirano potrebama proučavanja odgovarjućih fenomena u oblasti teorijske mehanike, fizike.
Ova oblast prirodno se prepliće sa drugim oblastima matematike kao što su: Lijeve grupe, kvantne grupe, globalna analiza, topologija, nekomutativna geometrija, teorija gravitacije, teorija relativnosti i sl.
Rezultati diferencijalne geometrije koriste se npr. u statistici (geometrija malih geodezijskih sfera i cevi), arhitekturi (minimale površi), gradjevinarstvu (deformacije površi), genetskom inžinjeringu, itd.
Istraživanja u oblasti p-adične, adelične i nekomutativne geometrije pripadaju novoj i aktuelnoj oblasti savremene matematičke fizike. Njihov značaj je u ispitivanju nearhimedovskih i nekomutativnih osobina geometrije prostor-vremena i kvantnih fenomena na veoma malim rastojanjima. Ona su nastavak istraživanja na projektu MNTR (2002-2005), 1426 'Kvantni modeli na nekomutativnim i adeličnim prostorima'.
Istraživanja u oblasti stohastičkih procesa, Braunovog kretanja i sl. veoma su važna jer su primenjiva u kombinatorici, fizici, aktuarskoj i finansijskoj matematici i drugim oblastima.
Kompjuterska grafika jedna je od najvažnijih oblasti računarstva i ne može se ni zamisliti bez korišćenja diferencijalne geometrije krivih i površi, kao ni bez primene odgovarajućih numeričkih metoda.
Problem vizuelizacije i animacije je jedan od najinteresantnijih savremenih problema u računarstvu i u kojem je neophodan interdisciplinarni pristup.
Veliki projekt Evropske Unije, utvrdjen Bolonjskom deklaracijom, posvećuje posebnu pažnju obrazovanju u oblasti geometrije uz korišćenje informatičkih tehnologija.
U prethodnom periodu, uspeli smo polazeći od početne faze da stignemo do visokog stepena razvoja geometrije, koji je rezultirao većim brojem objavljenih radova u medjunarodnim časopisima. Veći broj medjunarodnih i nacionalnih naučnih skupova organizovan je od strane članova ovog projekta kao što su: Zbornici radova mnogih od gore pomenutih naučnih skupova su publikovani, a neki od njih u svetski poznatim izdavačkim kompanijama kao što su World Scientific, American Institute of Physics, i sl..
Aktuelnost i naučnu vrednost ovih projekata u prethodnom periodu potvrdjuju i mnogobrojni institucionalni i lični kontakti sa istaknutim institucijama i pojedincima. Medjunarodna saradnja je razvijena i učešćem u medjunarodnim projektima finansiranim od nemačke fondacije DAAD. Istaknimo samo institucionalnu saradnju sa:

Očekivani rezultati

Otkrivanje novih geometrijskih svojstava: glatkih mnogostrukosti (pseudo-Rimanovih snabdevenih raznim povezanostima i dodatnim strukturama) i njihove primene; Lijevih grupa i algebri; kvantnih grupa. Nalaženje interakcija izmeu lokalnih i globalnih invarijanata mnogostrukosti i raslojenja gradjenih nad njima. Istraživanje kvantnih i klasičnih modela na p-adičnim, adeličnim i nekomutativnim prostorima. Izračunavanje odgovarajućih n-dimenzionih Fajnmanovih integrala po putanjama i korekcija standardnih fenomenoloških veličina. Otkrivanje novih asimptotskih svojstava ekstremnih vrednosti stohastičkih procesa. Rad na programu LinKnot i njegova primena u teoriji čvorova i linkova. Interakcija empirijskih i teorijskih znanja u računarski podržanoj nastavi geometrije. Standardizacija i priprema materijala za računarski podržano učenje na daljinu posredstvom Interneta. Publikovanje dobijenih rezultata, organizovanje medjunarodnih skupova i nastavak uspešne medjunarodne saradnje (projekta finansiranog od strane nemačke fondacije DAAD), kao i dalja implementacija dobijenih rezultata u praksi.