Projekat 1646

Geometrija, obrazovanje i vizuelizacija sa primenama

Rukovodilac: dr Neda Bokan

Rezime

Predmet istraživanja

• Mnogostrukosti i raslojeni prostori u problemima geometrije, topologije i matematičke fizike.
• Aspekti vizuelne matematike, primene računarske grafike
  - u vizuelizaciji rezultata iz geometrije u oblasti obrazovanja,
  - u fizici, hemiji, kristalografiji i tehničkim naukama.
• Učenje na daljinu posredstvom Interneta zasnovano na teorijskim rezultatima iz geometrije.
• Povezivanje empirijskih i teorijskih znanja u računarski podržanoj nastavi geometrije.

Sadržaj istraživanja

• Hiperpovrši i podmnogostrukosti glatkih mnogostrukosti snabdevenih različitim strukturama,
• Osermanove mnogostrukosti,
• Reprezentacije grupa na prostorima tenzora krivine,
• Kvantne grupe, deformacije omotačkih algebri Lijevih algebri,
• Proširenje istraživanja A. Greja o malim geodezijskim sferama,
• Transformacije i vektorska polja,
• Geometrija diferencijalnih operatora,
• Međusobna zavisnost topoloških i geometrijskih osobina mnogostrukosti,
• Uopštenja Čenovih krivinskih invarijanata,
• Homogeni Rimanovi prostori,
• Geometrijska analiza tipičnog kvantnog sistema,
• Geometrija glatkih mnogostrukosti snabdevenih raznim strukturama,
• Infinitezimalne deformacije površi i Rimanovih prostora,
• Razvijanje softvera za geometriju koji obezbeđuje sredstva za grafičke prezentacije,
• Razvoj numeričkih metoda za rešavanje problema vidljivosti, konturnih problema i drugih problema u geometriji krivih i površi,
• Algoritmi za numeričku integraciju i rešavanja diferencijalnih jednačina geodezijskih linija, asimptotskih linija, linija krivine i dr.
• Implementacija prethodno pomenutih metoda i algoritama,
• Priprema materijala iz raznih oblasti geometrije za učenje na daljinu, uz korišćenje pogodnosti Interneta,
• Korišćenje računarske grafike zasnovane na Java-apletima u daljinskom učenju i elektronskim publikacijama (udžbenici, priručnici i sl.),
• Razvoj softvera za pravljenje figura i animacija na osnovu formalnog opisivanja konstrukcija,
• Formalni opis konstrukcija u hiperboličkoj ravni i u Euklidovoj ravni (Poinkareov model) opisanih prirodnim jezikom,
• Korišćenje softverskih proizvoda kao što su: Matematika, Fleš, Cinderela i sl., za dobijanje optimalnih rezultata u animacijama.

Originalnost predloženih istračivanja

• Sinteza metoda i rezultata iz različitih oblasti (geometrija, informatika, obrazovanje)
• Analiza metoda i rezultata učenja posredstvom Interneta
• Učešće na projektima DAAD i drugih fondacija

Cilj istraživanja

• Otkrivanje novih geometrijskih svojstava raznih glatkih mnogostrukosti
• Interakcije između lokalnih i globalnih invarijanata mnogostrukosti i raslojenja građenih nad njima
• Razmatranje raznih aspekata vizuelne geometrije i drugih oblasti matematike primenom računarske grafike
• Interakcija empirijskih i teorijskih znanja u računarski podržanoj nastavi geometrije
• Priprema materijala za računarski podržano učenje geometrije na daljinu, izmedju ostalog i posredstvom Interneta

Stanje istraživanja u oblasti

Stanje istraživanja u svetu

• Diferencijala geometrija se intenzivno razvija u svetu koristeći pored analitičkog aparata i metode algebre (teorija reprezentacija grupa i algebri i dr.), topologije i sl., što je inicirano potrebama proučavanja odgovarajucih fenomena u oblasti teorijske mehanike, fizike, itd.
• Ova oblast prirodno se prepliće i s drugim oblastima matematike: Lijeve grupe, kvantne grupe, globalna analiza, diferencijalna topologija, nekomutativna geometrija, teorija gravitacije i teorija relativnosti, itd.
• Rezultati diferencijalne geometrije koriste se npr. u statistici (geometrije malih geodezijskih sfera i cevi), arhitekturi (minimalne površi), građevinarstvu (deformacije površi) i genetskom inženjeringu
• Računarska grafika je jedna od najvažnijih oblasti računarstva koja se teško može zamisliti bez korišćenja diferencijalne geometrije krivih i površi, kao ni bez primene odgovarajućih numeričkih metoda
• Savremeni softver za kreiranje Internet prezentacija zasnovan je na korišćenju specijalnih krivih (npr. Bezierove)
• Problem vizuelizacije i animacije je jedan od najinteresantnijih savremenih problema u računarstvu sto čini neophodnim interdisciplinarni pristup ovoj oblasti
• Veliki projekat Evropske Unije, utvrđen Bolonjskom deklaracijom, posvecuje posebnu pažnju obrazovanju u oblasti geometrije uz korisćenje informacionih tehnologija.

Stanje istraživanja kod nas

• Geometrija se razvija intenzivno u nas u drugoj polovini dvadesetog veka;
• U tom periodu uspeli smo polazeći od početne faze da stignemo do visokog stepena razvoja geometrije, koji je rezultirao većim brojem objavljenih radova u medjunarodnim časopisima;
• Razvijena je medjunarodna saradnja uz učešće u medjunarodnim projektima, finansiranim od strane:
  - DAAD fondacija u Nemačkoj,
  - više univerziteta (Moskva, Rim, Prag, Santiago de Kompostela, itd.);
• Organizovano je i više naučnih skupova iz oblasti geometrije, od kojih neki uključuju i probleme obrazovanja (u poslednje vreme i probleme vizuelne geometrije);
• Do sada u našoj zemlji nije intenzivno razvijana oblast računarske geometrije, niti njene primene u obrazovanju.

Planirani rezultati projekta

Saradnja sa firmom "EKI SOFT" (pri Ekonomskom institutu) u izradi Java aplikacija (apleta) zasnovanih na računarskoj grafici, koji bi se koristili u Internet prezentacijama.

Izrada softvera za podršku učenju na daljinu:

• testiranje,
• prezentacija materijala (gradiva),
• vođenje evidencije o polaznicima,
• ocenjivanje i praćenje rezultata,
• organizacija kurseva iz geometrije metodom učenja na daljinu.