Projekat 1834

Diskretni i neprekidni stohasticki modeli sa primenama

Rukovodilac: dr Milan Merkle

Rezime

Predmet istraživanja

Konveksnost, stohastička majorizacija, specijalne funkcije i primene u stohastičkim modelima. Teorija raspodela i ocenjivanje parametara raspodela. Stohastičke diferencijalne jednačine. Vremenske serije. Planiranje eksperimenata. Slučajni procesi sa neprekidnim vremenom. Teorija pouzdanosti sa primenama. Kalmanovi filtri i neuronske mreže sa primenama. Stohastički sistemi. Primene stohastičkih modela u finansijama.

Sadržaj istraživanja

Logaritamska konkavnost raspodela, posebno raspodele zbira nezavisnih slučajnih promenljivih. Gama funkcija i Gama raspodela, inverzna Gama raspodela. Konveksnost u smislu Schura i primene u stohastičkim modelima i problemima stohastičke majorizacije.

Robusno ocenjivanje parametara, posebno Pitmanov kriterijum, Monte Carlo aproksimacija za raspodele u vezi sa Pitmanovim ocenjivajnem. Teorija vezana za medijanu kao meru srednje vrednosti, umesto matematičkog očekivanja. Slaba konvergencija konačno aditivnih mera verovatnoće. Nove karakterizacije uniformne raspodele i stabilnost.

Generalisani momenti u Karamatinom smislu i istraživanja vezana za Karamatinu teoriju sporo promenljivih funkcija. Asimptotika generalisanih momenata proizvoljnog reda.

Proučavanje problema egzistencije, jedinstvenosti i stabilnosti rešenja

različitih stohastičkih diferencijalnih jednačina tipa Itoa. Različiti tipovi analitičkih i numeričkih aproksimacija rešenja perturbovanih jednačina. Očekuju se primene u mehanici i u ekonomiji.

Vremenske serije sa slučajnim koeficijentima i različitim marginalnim raspodelama- uslovi egzistencije, ocenjivanje parametara, predikcija, primene u ekonomiji.

Za slucajne procese drugog reda sa neprekidnim vremenom u separabilnom Hilbertovom prostoru istraživaće se problemi u vezi sa spektralnim tipom i multiplicitetom.

Iz teorije pouzdanosti analiziraće se pouzdanost sistema od dva i tri elementa sa popravkom i preventivnom. U ovoj analizi koristiće se Monte Carlo simulacija.

Obučavanje veštačkih neuronskih mreža primenom proširenog Kalmanovog filtra. Primena nelinearnih/ne-Gausovih filtara u sekvencijalnoj adaptaciji parametara i strukture neuronskih mreža.

Iz teorije sistema radiće se poređenje različitih vrsta uzročnosti sa primenama na stohastičke diferencijalne jednačine.

Zajedničko za sve učesnike u projektu jeste primena u finansijskoj matematici: stohastički modeli kojima se opisuju cene robe, akcija, obveznica i derivata, istraživanja u oblasti portfolio analize, kao i teorija rizika u finansijama. Namera istraživača okupljenih oko ovog projekta je da svoja dosadašnja istraživanja usmere u pravcu primene u finansijskoj matematici.

Originalnost predloženih istračivanja

Originalnost predloženih istraživanja će se verifikovati objavljivanjem rezultata projekta u naučnim časopisima. Originalnost projekta kao celine izlazi iz njegove multidisciplinarnosti.

Cilj istraživanja

U toku realizacije predloženog projekta, istrazivački tim će objaviti najmanje 35 naučnih radova u međunarodnim časopisima i najmanje četiri naučne monografije. Četiri istraživača će magistrirati, a dva doktorirati. Za tri godine, tim će postati prepoznatljiv po svojim doprinosima razvoju finansijske matematike u Srbiji, kao i po svom doprinosu svetskoj nauci u oblasti stohastičkih modela.

Stanje istraživanja u oblasti

Stanje istraživanja u svetu

Stohastički modeli su u svetskoj matematici jedna od glavnih tema. Sve teme uključene u predlog projekta razvijaju se u svetskim razmerama i pojavljuju se u radovima u vodećim časopisima i monografijama. Primene u finansijama su u poslednjih 10 godina u samom vrehu interesovanja najboljih svetskih matematičara. Prilažemo izbor važnijih svetskih referenci iz oblasti koje će se raditi na projektu.

Stanje istraživanja kod nas

Kod nas se teorija stohastičkih diferencijalnih jednačina istražuje zadnjih petnaest godina. Poslednjih godina ovo je glavna tema na Seminaru iz stohastike. Konveksnost i specijalne funkcije imaju kod nas dugu tradiciju. Krug matematičara okupljen oko D.S.Mitrinovića na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu bio je jedno vreme vodeći svetski centar za konveksnost i specijalne funkcije. Uloga ovog projekta je da nastavi tradiciju primenjujući dobijene rezultate u stohastičkim modelima, što je novost u okvirima naše nauke ali se uklapa u svetske trendove. Slično obrazloženje odnosi se i na ulogu teme o Karamatinoj teoriji sporo promenljivih funkcija.

Uglavnom, dosadašnji značajniji rezultati iz oblasti kojima će se projekat baviti u okvirima naše nauke su postignuti od strane učesnika u predloženom projektu a reference su priložene u pojedinačnim spiskovima radova. Primene u finansijama do sada nisu rađene, osim jednog šestomesečnog radnog seminara naše grupe.

Planirani rezultati projekta

Poznato je da stohastički modeli imaju primene u svim naukama. Istraživanja koja će se sprovoditi na projektu imaju raspon primena, od kojih ćemo navesti samo najdirektnije:

  1. Stohastičke diferencijalne jednačine u modelima automatskog upravljanja; moguće su primene u mehanici;
  2. Vremenske serije u ekonomiji;
  3. Procesi drugog reda u telekomunikacijama;
  4. Teorija pouzdanosti u održavanju složenih sistema u industriji (električne centrale, proizvodnja, saobraćaj);
  5. Teorija raspodela i ocenjivanje parametara u svim oblastima gde se primenjuju statistički metodi. Istraživanja koja će se sprovoditi na projektu imaju direktnu primenu u ekonomiji,

Posebno ističemo da je zajednički zadatak svih učesnika na projektu da istraže mogućnosti primene u finansijama. Sve predložene aktivnosti u okviru projekta se mogu potencijalno i neposredno primeniti u finansijama, konkretno u berzanskom poslovanju.

S obzirom da je Beogradska berza tek u osnivanju i da će u budućnosti morati da posluje na svetskim tržištima, rezultati istraživanja u oblasti finansija će biti veoma značajni za poslovanje kako Berze tako i ostalih finansijskih institucija. U svetu je poslednjih godina uobičajena praksa da finansijske institucije angažuju matematičare za poslove modeliranja cena akcija i finansijskih derivata, minimiziranja rizika i druge poslove vezane za finansije.

Rezultati istraživanja na predloženom projektu imaće direktnu primenu u finansijskim poslovanjima. Sve finansijske institucije, na primer, Beogradska berza (u osnivanju) imaju neposrednu potrebu za konkretnim matematičkim znanjima i njihovoj implementaciji u vidu softvera ili konkretnih uputstava za neposredno odlučivanje u procesu kupovine i prodaje akcija, obveznica, procene vrednosti kapitala ili finansijskih derivata (opcija, sekundarnih hartija od vrednosti). S obzirom da u ovoj oblasti uglavnom nema gotovih rutinskih recepata i da se aktivnosti vodećih svetskih finansijskih institucija zasnivaju na istraživanjima sopstvenog tima matematičara, a takođe imajući u vidu da su uslovi pod kojima radi ili će raditi naše tržište obveznica i ostalih hartija od vrednosti, bitno dugačiji od uobičajenih uslova na ostalim svetskim tržištima, rezultati predloženog projekta imaće neposrednu i direktnu primenljivost u poslovanju Berze ukoliko se ostvari predložena saradnja. Dokaz o zainteresovanosti Beogradske berze za saradnju i upotrebu rezultata projekta je dostavljen u prilogu.