MODULARIDAD EN EL ARTE

Slavik Jablan

(traducido de http://members.tripod.com/modularity/d3.htm por Sandra L. Patarroyo)
 

Como modularidad  se entiende el uso de varios elementos básicos (módulos) para la construcción de una más extensa colección de diferentes y posibles estructuras (Modular). En Ciencia el principio de la modularidad está representado por la búsqueda de elementos básicos (Ej: partículas elementares, prototeselados para diferentes estructuras geométricas…..) En arte, los distintos módulos (Ej. Los ladrillos en Arquitectura o para diseños ornamentales ocurren como las bases de estructuras modulares. En varios campos de la matemática (discreta) la importancia del problema es el reconocimiento de algunos de los conjuntos de elementos básicos, construcción de reglas y una (exhaustiva) derivación de estructuras generadas.

En un sentido general, el principio de modularidad es una manifestación del principio universal de economía en la naturaleza: La posibilidad de diversidad y variedad de estructuras, resultantes de algunos (finitos y muy restringidos) conjuntos de elementos básicos y sus recombinaciones.

En todos estos casos, el paso más importante es la elección (reconocimiento o descubrimiento) de elementos básicos. Esto puede demostrarse con ejemplos del arte ornamental, donde algunos elementos originados desde el arte del paleolítico y neolítico están presentes hasta ahora como una clase de arquetipo ornamental.

En algunos casos, la derivación de estructuras modulares discretas está basada en Simetría. Usando la teoría de la Simetría y sus generalizaciones (antisimetría múltiple y simple, simetría coloreada….) para ciertas estructuras, es posible definir derivaciones exhaustivas de algoritmos e incluso, obtener una fórmula combinatoria para su enumeración.

Como ejemplos de estructuras modulares que reposan en la frontera entre arte y matemáticas podrían considerarse:

_ El conjunto de elementos modulares de la derivación de objetos posibles e imposibles – Teselados espaciales y la clasificación de las estructuras obtenidas.

_ Diferentes proyecciones de nudos que ocurren en el diseño de nudos (islámicos, célticos) derivados de las teselaciones uniformes y planas, usando algunos pocos elementos básicos _ teselados de nudos.

_ Ornamentos antisimétricos y sus derivaciones desde algunos de los teselados proto. Teselados ópticos, así como también la aproximación algorítmica de su generación.

"las cosas no son siempre lo que parecen" si tratáramos de explicar cómo es que vemos un objeto, podríamos concluir que siempre hacemos una elección entre una serie infinita de objetos reales tridimensionales teniendo la misma proyección retinal plana. De esta infinitud, nuestra percepción selecciona usualmente únicamente una interpretación "natural" (la más probable y algunas veces la más simple). En la percepción del mundo corriente tridimensional, tal interpretación está fuertemente conectada con una interpretación coherente del cuadro completo, pero en el caso de objetos aislados, donde el referente común no existe ocurre algunas veces la ambigüedad: La imposibilidad de determinar una única interpretación "natural". La situación es aún peor, si tal interpretación "natural" es un objeto imposible en tercera dimensión.

El interés de las matemáticas y de la Psicología de la visión, en la investigación de figuras tridimensionales está en su mayoría; estimulada por el famoso tribar (un triángulo imposible) de Penrose y por los trabajos de M.C. Escher, pero sus más interesantes interpretaciones las encontramos en los trabajos de Piranesi, en los de Albers o en algunas obras del arte óptico. Si investigamos por la historia de tales objetos necesitamos recordar los mosaicos de Antioquía. Uno de ellos, que consiste en cubos de Koffa representa al mismo tiempo un ornamento en un plano regular con una estructura posible en tercera dimensión. En ambos casos es modular.

Vamos a considerar en primera instancia su elemento básico: Un cubo de Koffa. Es multi-ambiguo: Puede ser interpretado como tres rombos con un vértice común, como un trihedron cóncavo o convexo o como un cubo. Si nosotros aceptamos su interpretación "natural" en tercera dimensión – un cubo que para un observador tiene 3 posibilidades de posiciones en el espacio: Arriba, abajo, inferior izquierda e inferior derecha, teniendo todos la misma posibilidad de ser un punto de vista. Así, por las 3 direcciones correspondientes, un cubo Koffa representa un punto de cambio.

Teniendo tal multiplicidad simétrica, satisface plenamente las condiciones de ser un elemento modular básico apropiado. Ahora podemos regresar a la muy conocida figura imposible: Las figuras Thiery (propuestas al final sel siglo XIX) consistiendo en 2 cubos Koffa, objetos creados por Oscar Reutesward en 1.934, el tribar de Penrose, las construcciones de Vasarely, el alfabeto de T. Taniuchi……todos ellos pueden ser considerados como estructuras modulares derivadas del cubo de Koffa. Para cada uno de ellos, es posible aún calcular simplemente el volumen: Por ejemplo, el volumen de un tribar con cada barra formada por 5 cubos es de 12. De acuerdo a E. Jonesco, todos conocemos el sonido del aplauso con dos manos, pero…¿Cómo suena el aplauso con una única mano? ¿Qué pasará con el tribar, convirtiéndose cada vez más pequeño, cuando su borde consiste en 3, 2 o aún 1 sola unidad?. En el último caso, el resultado es un cubo de Koffa singular. Si el borde es de 2, el resultado es la próxima figura imposible, teniendo como un sobre otra figura geométrica interesante: Una banda Moebius de un solo lado. Yendo al lado opuesto, desde los cubos Koffa podemos construir una infinidad de familias de figuras imposibles. En el proceso de su crecimiento, en cada punto tenemos la posibilidad de proceder en 3 direcciones; y/o elegir desde 6 modos de orientación.

Nuestra visión de algunos objetos tridimensionales puede reducirse a la percepción de sus partes constituyentes desde diferentes puntos de vista. Por ejemplo desde las esquinas de un marco rectangular, tenemos únicamente 3 tales posibilidades (o 4 si distinguimos formas enantiomorfas) después, los dibujos de sus partes constitutivas pueden ser elementos básicos (prototeselados) de un plano de teselados modular.

Teniendo en mente que en un plano hay solamente 3 planos regulares (triángulos regulares, cuadrados y hexágonos) yo derivé en 1995 el rompecabezas modular (teselado espacial) para la construcción de cuadros representando objetos posibles e imposibles en el plano. Por ejemplo- si componemos las piezas de las esquinas de un marco rectangular, solamente 3 combinaciones resultaran en objetos posibles, y los otros serán imposibles. Uno de ellos que representa un marco con perspectiva opuesta puede asociarse con el mosaico de Antioquía aquí mencionado, al igual que a algunos de los trabajos de M.C.Escher o con muchas de las pinturas medievales que usan contra-perspectiva. Los elementos básicos de "adoquines espaciales" describen diferentes situaciones de vértices; y pueden ser utilizados en la investigación de la posible percepción visual, en un intento para establecer criterios de la viabilidad de reconstrucción de objetos en 3 dimensiones desde su dibujo. Si nosotros introducimos en nuestro conjunto , teselados planos uniformes (arquimedéos), podemos obtener una colección infinita de figuras posibles e imposibles, empezando desde las más elementales, e incluyendo formas más sofisticadas, similares a aquellas que ocurren en el libro de B. Ernst "L´adventure des figures imposibles" o de las creaciones artísticas de T. Farkas.

Son las figuras imposibles, posibles? Esta es la pregunta del título de un artículo de Z. Kulpa explicando que las propiedades de "ser una figura imposible" no es la propiedad de un dibujo solamente, sino, la propiedad de su interpretación espacial ("natural") por parte del observador. Ya hemos dicho que la visión es una elección entre infinidad de objetos, en donde algunos de ellos son posibles y otros no. De un dibujo de un objeto imposible, podemos derivar también algunas de sus realizaciones objetivas: Un objeto posible teniendo, la misma proyección retinal. En todo caso, en cada situación así, cuando el objeto imposible es más simple que el objeto posible, la mente y el ojo lo aceptaran como la interpretación de un dibujo. Después de eso, revisando las relaciones espaciales de sus elementos constituyentes, se llega a una conclusión: Este es un objeto imposible.

La siguiente pregunta concerniente a los objetos imposibles, es su grado de imposibilidad "Esto significa nuestra habilidad para reconocerlos como imposibles. Por ejemplo, los marcos para un "tetraedro truncado" y especialmente para figuras de segmentos lineales (donde la primera no es posible y la otra lo es) es muy difícil llegar a esta conclusión.

Del mismo modo, para los muy conocidos anillos de Borromea, los argumentos visuales no son suficientes, así que necesitamos la prueba matemática de su imposibilidad (esto significa, que ellos no pueden realizarse con 3 anillos planos). Tales componentes triádicos son denominados anillos Borromeos a  partir de los Borromeos, una familia italiana del Renacimiento que los utilizaba como monograma familiar. Como ha sido comprobado por B. Lindstrom y H.O Zetterstrom "los círculos borromeos son imposibles" (este es el titulo del artículo), pero los triángulos borromeos son posibles. Un triángulo hueco es la región plana unida por 2 triángulos equiláteros concéntricos y homotéticos, esto es –un anillo triangular plano. El escultor australiano J. Robinson ensambló tales anillos triángulares para formar una estructura (titulada "intuición"), topologicamente equivalente a los anillos borromeos, su modelo en madeflex colapsa por su propio peso para formar un patrón plano.

Peter Cromwell lo ha encontrado como un detalle de las pinturas rupestres de Gottland. Esta y otras combinaciones simétricas de 3 o 4 triángulos huecos son considerados por H.S.M Coxeter. Los anillos borromeos son unicamente un simple ejemplo del gran campo de nudos y enlaces. En la práctica, los nudos y los enlaces ocurren como resultado de anudar, hilar o trenzar, actividades humanas tan viejas como el mundo. Desde el punto de vista matemático, un nudo es una imagen homeomórfica de un círculo, esto significa, alguna ubicación de un círculo en el espacio tridimensional, y un enlace con una ubicación en varios círculos. Como representación en el plano de nudos y enlaces, nosotros usamos sus proyecciones.

En matemáticas la edad dorada de las proyecciones de nudos es hacía el final del siglo XIX. Para la mayoría de nudos se corresponden más de una proyección. En todo caso, en todas las tablas de proyección de nudos, que son cierta clase de tradición matemática transferida de un autor a otro, se encontrará solamente con una proyección representativa para cada nudo. Su primera elección quizá pertenezca a K. Reidermeister (Knotentheorie, 1932) y es interesante encontrar algunos principios subsecuentes para la elección de proyecciones particulares.

En el Arte, los diseños de nudos están presentes desde los tiempos antiguos. Uno de sus momentos culminantes son las anudaciones célticas analizadas desde el punto de vista matemático por P. Cromwell. La distinción de su simetría es hecha por P. Verdes, discutiendo las llamadas curvas de espejo que resultan de los nudos y enlaces de dibujos en arena de la región de Lunda (en la región este de Angola y en la parte noroccidental de Zambia) o en los diseños tamiles. Si nosotros tenemos algunos polinomios en un plano regular adoquinado, con un juego de espejos de (2 lados) incidentes en sus bordes o perpendiculares en sus puntos medios, el rayo de luz emitido por tal punto medio, después de una serie de reflexiones lo retomará formando una ruta cerrada: Una curva en espejo. Si el polinomio está completamente cubierto de una curva singular, siempre representa una proyección de un nudo, de otro modo, si es agotado por varios de sus componentes, es una proyección de un enlace. El dibujo será simétrico o asimétrico dependiendo de la colocación de los espejos interiores, así de que la simetría no es necesariamente una propiedad de curvas en espejo. De todos modos, estas poseen otra propiedad admirable: La modularidad. Cada una de estas proyecciones de nudos puede ser obtenida como un teselado plano, usando solamente 5 elementos básicos, que yo he introducido en "nudos espaciales" en 1994. Las posibilidades de diseños modulares de tales estructuras, son ilimitadas. La variedad puede obtenerse usando variaciones topológicas de los prototeselados, pero también si usamos diferentes polinomios básicos, que resultan de los teselados planos (arquimedéos). Es interesante anotar, que la modularidad de las anudaciones fue quizá descubierta por primera vez por M.C.Escher, quién creo variaos prototeselados para su producción.

Analizando curvas en espejo, P. Gerdes, descubrió los diseños de Lunda: Si los cuadrados pequeños en sucesión a través de los cuales pasa la curva, son coloreados en forma alternativa (blanco y negro), se obtiene un mosaico en blanco y negro. Este tipo de mosaicos poseen una propiedad de equilibrio local: cada esquina de punto medio esta igualmente rodeada de pequeños cuadrados en blanco y negro. Ciertamente, desde el equilibrio local resulta el equilibrio global en cada fila y en cada columna.

Cada cuadrado de un diseño Lunda es un diseño modular en blanco y negro, formado por solamente 3 clases de prototeselados (2 clases internas y 1 clase en el borde del prototeselado). Ya que P. Gerdes derivó los diseños de Lunda de curvas en espejo con su coloración en blanco y negro, la pregunta natural es: Podemos encontrar diseños Lunda en el arte ornamental? Muchos de estos poseen una propiedad asombrosa: Igualdad entre la figura y el fondo (blanco y negro) esto significa que estos son asimétricos. Para encontrar la respuesta a esta pregunta, vamos a retornar a los origénes: El arte ornamental del neolítico y del paleolítico.

El término patrón –llave es usado para denotar patrones similares a una llave que ocurren en Egipto, Grecia, Roma, Maya, China y especialmente en el arte céltico. Por su especificidad en el sentido visual, los distinguiremos en un capitulo aparte en el libro sobre arte céltico de G. Bain. En libros matemáticos (aún en adoquines y patrones por B. Grünbaum y G.C Shephard) están considerados como patrones usuales. Pero en el mismo libro, en el comentario de la carátula sobre el capitulo acerca de los patrones, se anota que estos patrones están inspirados por los diseños intrincados. G. Bain anota específicamente la conexión entre patrones –llave, espirales, caminos serpenteantes, diseños intrincados y laberintos.

El más viejo ejemplo de patrones tipo llave que yo he dado en mi monografía "La teoría de la simetría y el ornamento", pertenece al arte paleolítico (alrededor de 23.000 a.c en Mezin, Ucrania). Si nosotros comparamos este ornamento con otros ornamentos existentes en arte paleolítico, podremos concluir que difiere fuertemente de cualquier otro ornamento paleolítico y que representa un alcance absolutamente inesperado y aún increíble del arte paleolítico. Todos los ornamentos de Mezin representan un estudio sistemático de posibilidades para derivar diferentes ornamentos desde prototeselados básicos: cuadrados con un conjunto de diagonales paralelas. Construcciones similares se pueden obtener utilizando sólo uno o dos de tales prototeselados.

El siguiente punto máximo de los ornamentos con patrones tipo llave son los ornamentos célticos. En el libro de G. Bain hay un intento de explicar su construcción , donde cada patrón en llave es descrito por una serie de números que denotan una serie de pasos en una orientación particular, así que para cada patrón en llave es simplemente posible leer la serie correspondiente. De todos modos, no está claro, como obtener estas series por primera vez. También podemos observar la muy fuerte y especifica impresión visual que los ornamentos producen en un observador; similar a los efectos producidos por el arte óptico. Tales obras de arte óptico están consideradas por C. Barret como sistemas interrumpidos donde el patrón o sistema esta roto o interrumpido. El resultado es un grado extraordinario de fluctuaciones y encandelimientos. Estructuras similares son bien conocidas en la teoría de la percepción visual.

Algunos de los ornamentos tipo llave producen la misma impresión un tanto extraña y aterradora, y es por ello que fueron utilizados contra encantamientos de los enemigos o como símbolo de un laberinto. El patrón intrincado de las paredes del palacio de Knosos, con el motivo de la doble hacha (labris) de donde pudo haberse originado el nombre de laberinto, también pudo ser construido por la repetición simétrica de este prototeselado único.

Analizando los laberintos romanos podemos registrar los mismos caminos serpenteantes elementales que ocurren también en los patrones-llave. Buscando un lugar común en el cuál se basan ambos, podemos concluir que esto es asimetría. En el primer ejemplo (laberinto romano, Avenches, Suiza) podemos observar un sistema regular formado por círculos concéntricos, que estan interrumpidos por 4 "dislocaciones": 3 rectángulos con 4 y uno con 5 líneas diagonales. Estos son obtenidos de un rectángulo de las dimensiones 6X4 con 9 líneas diagonales, usando el principio de asimetría. Pero ahora, debemos recordar que antisimetría no es solamente el contraste de opuestos (blanco y negro) sino, también el principio de complementareidad: dos opuestos dan una unidad. Los otros ejemplos de laberintos romanos (y su reconstrucción) son sólo variaciones de la misma idea: El sistema regular de cuadrados concéntricos es interrumpido por varios rectángulos (regularmente dispuestos) antisimétricos.

Los laberintos circulares son los más simples topologicamente, equivalentes a los laberintos cuadrados y son derivados directamente de ellos.

Si consideramos nuevamente los patrones-llave del paleolítico, los ornamentos célticos y las obras de arte óptico (Op art), podemos ver lo que comparten básicamente: Prototeselados (anti) simetricos, obtenidos por la división de un rectángulo con sus líneas diagonales en dos prototeselados antisimétricos (complementarios) donde uno de ellos o ambos es utilizado. También podemos considerar su división en dos prototeselados blanco y negro. Para un rectángulo con los lados a y b , el número de líneas diagonales es a+b-1, así, distinguimos el caso a=b (mod2) y a+b=(mod2) considerando el caso más simple (a=b=2) y siguiendo también la alternación de la dirección de las diagonales (ascendente-descendente o izquierda-derecha), tenemos el esquema de múltiplos antisimétricos. En estos ornamentos podemos reconocer su componente "blanco y negro" y (rojo), los cuales son equivalentes si la antisimetría múltiple es consiguientemente utilizada. Esto también explica, el por que de una un tanto dudosa impresión visual que estos patrones producen: El constante efecto de fluctuación , cuando el ojo reconoce un patrón blanco o negro y oscila entre ellos.

De los prototeselados "blancos y negros" podemos obtener los patrones blancos y negros correspondientes. La serie de tales adoquines que se derivan de los cuatro protoadoquines están representados en teselados ópticos (op tiles) .

Analizando los ornamentos blancos y negros que ocurren en la historia, hay un método muy simple para su construcción: Alternar el color blanco y negro de algún teselado isoedro, pero para algunos de ellos es muy difícil de comprender como están construidos. Quizá en estos casos ha sido usada la antisimetría múltiple: La división de una región fundamental en muchas partes y después el uso de la antisimetría múltiple.

Solamente vamos a hacer notar que la antisimetría múltiple no es una regla muy sofisticada: es solamente el modo de pensar con el múltiplo 0-1 (o el simple uso del sistema binario o del espacio Booleano) en Geometría. Esta idea que he introducido en mi articulo Teselados periódicos antisimétricos es usada para obtener teselados isoedricos no estandar por uso de la antisimetria multiple.

Los mencionados patrones-llave del paleolítico, representan probablemente el primer uso de antisimetría en el arte ornamental y los patrones-llave célticos, los laberintos romanos y algunas obras de arte óptico están basadas en el mismo principio descubierto hace 23.000 a.c de manera que la pregunta ¿"A usted le gusta el arte óptico del paleolítico?" no es tan descabellada después de todo.

Posterior al descubrimiento de que mucho de los ornamentos antisimétricos pueden derivarse de la recombinación de algunos pocos "teselados ópticos" básicos, como unas estructuras modulares (o simplemente como colchas de retazos), mi más reciente investigación relacionada con Arqueología y con el Arte ornamental étnico, concierne con los elementos básicos (módulos) y el origen de tales ornamentos.

Tales módulos, son por ejemplo, un cuadrado con un juego de líneas diagonales, dos cuadrados antisimétricos, cuadrados en blanco y negro (y usados abundantemente en el arte prehistórico y étnico, conocidos también como los elementos de mosaicos) teselados Truchet y sus equivalentes topológicos obtenidos por la sustitución de líneas diagonales rectas por arcos circulares.

Después de encontrar que los patrones-llave están basados en la antisimetría, yo he procedido con mi investigación sobre la antisimetría en el ornamento. Si usted comienza desde el principio con los más simples cuadrados antisimétricos, con solo un campo diagonal, Ud. puede derivar una serie infinita de ornamentos en blanco y negro, incluyendo en esta clase, muchos patrones-llave, diferentes ornamentos neolíticos, como tambien la escritura kúfica.

El mismo prototeselado es bastante conocido en el Renacimiento y en el arte ornamental europeo posterior como un elemento básico para el esquema pérsico.

Ciertamente la escritura kúfica podría obtenerse de diferentes elementos básicos (ej. De una unidad de cuadrados blancos y negros), pero- en este caso, podría quizá aparecer en cuadrados de 2X2, y los prototeselados antisimétricos propuestos garantizan que el grosor de todas las líneas sean exactamente 1. En muchos casos, la aproximación simétrica-matemática difiere de las reglas de construcción en el arte ornamental, por ejemplo, el concepto matemático de la figura básica antisimétrica o la región fundamental asimétrica multiplicada por simetrías, no es siempre utilizada por el arte ornamental, hay un uso de simetrías básicas o figuras antisimétricas (módulos): Rosetones, frisos……y su superposición o solapamiento (ej. Ornamentos neolíticos en blanco y negro de los patrones de Tell Hallaf o Cacaudrove de Fiji). Después del neolítico, es casi imposible encontrar la cultura que no haya usado esa clase de patrones, derivados de un cuadrado en blanco y negro. La pregunta es solamente, cuantos de ellos son derivaciones del mismo prototeselado (en el sentido de una derivación exhaustiva de acuerdo a las reglas de simetría) por culturas particulares.

Investigando la historia de las expresiones matemáticas (visuales o intuitivas) expresadas en el arte ornamental o sus aspectos etnomatemáticos, es importante seguir el uso de estos elementos básicos en las diferentes culturas, su aspecto (topologico y geomeérico) de cambio en el tiempo y sus posibles relaciones interculturales.

Tales relaciones pueden ser seguidas considerando el prototeselado básico utilizado en Mezin (Ucrania), artefactos paleolíticos similares de la cultura de Schela Cladovei (Rumania) y su ocurrencia en todas las culturas neolíticas: Cucuteni (Ucrania, Moldavia, Rumania), Gumelnitsa(Rumania), Tisza (hungría), Vincha (Yugoslavia) Dimini (Grecia).

En su disertación de doctorado L. Tchikalenko, por primera vez hizo notar la posibilidad de que los ornamentos de Mezin están compuestos por la repetición de un módulo: Un rectángulo con líneas diagonales paralelas. Sus variantes en blanco y negro aparecen como el resultado del trenzado. De acuerdo con esto y teniendo en mente la recurrencia de los mismos o similares ornamentos en blanco y negro en el arte étnico ornamental, así como también en el arte ornamental del neolítico de culturas diferentes, esto sugiere la idea de que todos ellos se originan en los textiles y que a partir de allí, han sido transferidos a otros materiales (cerámica, relieves en madera, relieves en piedra…….) En el libro "Gotter aus tone" de Candor Kalicz, tales ornamentos antisimétricos son calificados como ornamentos textiles. A la misma conclusión se llega con las figuras de Vincha, Tisza o Vadastra donde se encuentran vestidos. Para la mayoría de ellos está estrictamente respetada la igualdad (congruencia) entre la figura y el fondo (sea blanco o negro). Esto se aplica inmediatamente a algunos de los ornamentos neolíticos que se han preservado completamente. De otro lado, esta regla podría ser la base más importante para la reconstrucción de muchos de los ornamentos neolíticos en cerámica, que están preservados solamente por partes a aún en los ornamentos sin color originarios de los coloreados.

Por que no es muy probable de que alguna parte de cierto ornamento, después de su multiplicación vaya a cubrir completamente el plano, respetando al mismo tiempo la condición de cambio opuesto, es que creo que mi proposición acerca de las reconstrucciones son correctas.

El problema más interesante es explicar el modo de planear estos ornamentos. Que es difícil construir este tipo de ornamentos lo podemos ver en los cuadernos de notas de M.C.Escher, o aún si nosotros los queremos construir independientemente.

Ya hemos mencionado algunas posibles soluciones modulares: Distintas clases de teselados ópticos, teselados múltiples antisimétricos o los diseños de Lunda. Notemos que estos patrones monoedrales en blanco y negro son más generales que los diseños de Lunda: Ellos satisfacen una condición de equilibrio global (la parte de congruencia en blanco y negro), pero usualmente no satisface las condiciones locales de los diseños de Lunda. De todas maneras es interesante que todos los diseños monoedrales de Lunda con algún grupo de planos asimétricos del Libro de P.Gerdes "Lunda Geometry" han sido descubiertos en el neolítico. De tal manera que aparece como un campo abierto de investigación, la conexión entre la tecnología de trabajo (sea este esterado, trenzado, plegado o anudando textiles y fibras……) y el completo arte ornamental del neolítico y paleolítico, preservado en piedra o rocas, huesos o cerámicas y el conocimiento matemático implícito que subyace en sus bases. En todos estos ornamentos podemos apreciar la dominación del sistema binario (blanco y negro, izquierda-derecha, arriba-abajo..)y/o antisimetría múltiple.

Desde el punto de vista estilístico en arte, vamos a considerar las propiedades específicas de la expresión artística, el modo y la manera de ejecución y las reglas de construcción que caracterizan una época en particular.

En el tiempo, el concepto de patrón inseparable de la idea de simetría prevalece en la teoría descriptiva de los estilos ornamentales. Al clasificar los ornamentos de acuerdo a su concepto: Su simetría subyacente- es posible hacer un seguimiento de la constante en sus reglas de simetría y descubrir sus cambios- sus variaciones ornamentales. Desde este punto de vista, cada época o estilo ornamental estará caracterizado tanto por su geometría como por las soluciones a sus problemas de construcción resueltos en el arte ornamental.

El estilo es un término usado mayoritariamente en el análisis artístico de épocas modernas: Ud. no encontrará el término "estilo paleolítico" o "estilo neolítico". De otro lado en una colección de ornamentos no es difícil reconocer ornamentos neolíticos o paleolíticos de otros: ellos poseen su "estilo". Trataremos de explicar el criterio geométrico-simétrico exacto, muy cercanamente relacionado con la teoría de la percepción visual, apareciendo como definidor de propiedades para cada estilo ornamental. Esta aproximación al arte ornamental desde el punto de vista de la simetría, está casi completamente tomado de la cristalografía, dándonos la respuesta a la pregunta: "cuales ornamentos son derivados", pero no a la pregunta: "como están derivados" ( o por que?). Para tratar de explicar los orígenes del arte ornamental y para entender sus sentido antropológico, social, cognitivo y comunicacional junto con el reconocimiento y (evidencia simétrica en cada época, necesitamos la reconstrucción del proceso completo de construcción de ornamentos). Esto concierne especialmente a los periodos más antiguos, de los cuales solo hemos preservado únicamente artefactos arqueológicos.

En la construcción de ornamentos podemos distinguir dos vías posibles: Las extensiones simétricas locales a simetrías globales y las desimetrizaciones (rupturas de la simetría) que van desde las estructuras altamente simétricas a los subgrupos simétricos. Por análisis comparativo, seguiremos el uso de algunos ornamentos (geométricos) y elementos básicos y patrones en diferentes culturas, su cambio (geométrico y topológico) en el tiempo y sus posibles relaciones interculturales.

This work was supported by the Research Support Scheme of the OSI/HESP, grant No. 85/1997.