. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

MODULARNOST U
UMETNOSTI

Slavik Jablan


Pod pojmom modularnost razmatracemo upotrebu izvesnog broja osnovni elemenata (modula) u cilju konstrukcije veceg broja razlicitih (modularnih) struktura. U nauci, princip modularnosti se javlja u vidu traganja za osnovnim elementima (npr. elementarnim cesticama, osnovnim gradivnim elementima razlicitih geometrijskih struktura...). U umetnosti, razliciti moduli (npr. cigle u gradjevinarstvu ili ornamentalnom zidarstvu...) predstavljaju osnovu modularnih struktura. U razlicitim oblastima (diskretne) matematike znacajan problem je prepoznavanje izvesnog skupa osnovnih elemenata, pravila konstrukcije i (kompletno) izvodjenje razlicitih tako generisanih struktura.

U opstem smislu, princip modularnosti je ispoljavanje opsteg principa ekonomicnosti u prirodi: mogucnosti za bogatstvo i raznovrsnost struktura, koje se izvode iz isvesnog (konacnog i veoma ogranicenog) skupa osnovnih elemenata njihovom rekombinacijom. U svim takvim slucajevima, najznacajniji korak je pocetni izbor (prepoznavanje ili otkrice) osnovnih elemenata. Ovo mozemo ilustrovati primerima iz ornamentalne umetnosti, gde su izvesni elementi koji poticu jos iz paleolitske ili neolitske umetnosti prisutni i danas, kao neka vrsta "ornamentalnih arhetipova".

Veoma cesto, izvodjenje diskretnih modularnih struktura je zasnovano na simetriji. Koristeci teoriju simetrije i njena uopstenja (prostu i visestruku antisimetriju, kolornu simetriju...) za generisanje izvesnih struktura moguce je odrediti algoritme koji garantuju kompletnost, i cak izvesti neke kombinatorne formule za izracunavanje broja razlicitih struktura koje se pri tome dobijaju.

Kao primere modularnih struktura koje se nalaze na granici izmedju umetnosti i matematike razmatracemo:

  • skup modularnih elemenata za izvodjenje mogucih i nemogucih objekata "Prostorni mozaik" i klasifikaciju dobijenih struktura;

  • razlicite projekcije cvorova koje se javljaju u prepletnoj ornamentici (islamskoj, keltskoj...), izvedene iz pravilnih i uniformnih ravanskih teselacija (parketiranja), koristeci skup od samo nekoliko osnovnih elemenata "Prepletni mozaik";

  • antisimetijske ornamente i njihovo izvodjenje iz nekoliko osnovnih elemenata - "Op(ticki) mozaik", kao i algoritamski pristup njihovom generisanju.

  • "Stvari nisu uvek onakve kakve nam izgledaju". Ako pokusamo da objasnimo sta vidimo kao jedan objekat, zakljucicemo da u stvari uvek vrsimo izbor u okviru beskonacnog niza realnih trodimenzionih objekata koji svi daju istu retinalnu projekciju. Iz ove beskonacnosti, nasa percepcija se najcesce opredeljuje birajuci samo jednu "prirodnu" (najverovatniju, ili cesto najjednostavniju mogucu) interpretaciju. Pri vizuelnoj percepciji uobicajenog trodimenzionog sveta koji nas okruzuje, ovakva iterpretacija je cvrsto povezana sa koherentnom interpretacijom kompletne slike, dok u slucaju izolovanih objekata, kada ne postoji zajednicki referentni sistem, ponekada dolazi do dileme: nesposobnosti da se odredi jedinstvena "prirodna" interpretacija. Situacija moze biti i gora, u slucaju kada je takva "prirodna" interpretacija neki nemoguci trodimenzioni objekat.

    Interesovanje matematicara i psihologa u oblasti vizuelne percepcije za istrazivanje nemogucih trodimenzionih objekata pretezno je bilo podstaknuto Penrouzovim nemogucim trouglom i radovima M.K.Esera, mada njihove interesantne interpretacije mozemo naci i u delima Piranezija, Albersa ili u izvesnim Op-art radovima. Istrazujuci istoriju ovakvih objekata, treba se setiti mozaika iz Antiohije. Jedan od njih, koji se sastoji od Kofkinih kocki, predstavlja istovremeno pravilan ravanski ornament i mogucu trodimenzionu strukturu. U oba slucaja, on je modularan.

    Razmotrimo prvo njegov osnovni gradivni element: Kofkinu kocku. Ona je viseznacna: moze biti interpretirana kao tri romba sa zajednickim temenom, kao ispupcen ili udubljen triedar, ili kao kocka. Ako prihvatimo kocku kao "prirodnu" interpretaciju, tada za tacku gledista posmatraca postoje tri moguca izbora pozicije u prostoru: gornja, donja leva i donja desna, i svaka od njih sa podjednakim pravom moze biti izabrana. Stoga, za odgovarajuca tri smera gledanja, Kofkina kocka predstavlja "prostornu skretnicu". Posedujuci visok rang simetrije, Kofkina kocka zadovoljava sve uslove da bude podesan osnovni modularni element. Sada se mozemo vratiti na poznate nemoguce objekte: Tijerijeve likove (otkrivene krajem XIX veka), koje grade dve Kofkine kocke, na objekte koje je kreirao Oskar Rojtesvard 1934. god., na Penrosov tribar, Vazarelijeve konstrukcije, na alfabet T.Taniucija... Svi oni mogu biti izvedeni kao modularne strukture iz Kofkine kocke. Za svaki od njih, moguce je cak jednostavno izracunati zapreminu: na primer, zapremina tribara cija se svaka ivica sastoji od pet kocki je 12. Po recima E.Joneska, svi mi znamo kako zvuci aplauz sa dve ruke, ali kako ce zvucati aplauz samo jednom rukom? Ste ce se desiti sa tribarom, koji postaje sve manji i manji, te se njegova ivica sastoji redom od tri, dva, i na kraju od jednog elementa. U poslednjem slucaju, rezultat je sama Kofkina kocka. Ako je ivica 2, rezultat je naredni nemoguci objekat cija je ovojnica jos jedan interesantan geometrijski lik: jednostrana Mebijusova traka. Iduci u suprotnom smeru, od Kofkinih kocki mozemo konstruisati beskonacnu familiju nemogucih objekata. U procesu njihovog rascenja, u svakoj tacki imamo mogucnost da nastavimo u bilo kom od tri pravca, tj. da izaberemo svaki od sest odgovarajucih smerova.

    Sva nasa vidjenja nekog trodimenzionog objekta mogu biti svedena na vidjenja njegovih sastavnih delova, posmatranih iz razlicitih tacaka gledista u prostoru. Na primer, za uglove pravougaonog okvira, postoje samo tri takve mogucnosti (ili cetiri, ako razlikujemo levu i desnu formu). Stoga, ctrezi njegovih sastavnih delova mogu biti iskorisceni kao osnovni elementi (plocice) modularnog ravanskog mozaika. Imajuci u vidu da u ravni postoje samo tri pravilna mozaika (sastavljena od pravilnih trouglova, kvadrata ili sestouglova), 1995. god. konstruisao sam modularnu slagalicu "Prostorni mozaik" za sastavljanje slika koje prikazuju moguce i nemoguce objekte u ravni. Na primer, komponovanjem ugaonih delova pravougaonog rama, samo tri kombinacije daju moguce objekte, dok su sve ostale slike nemogucih objekata. Jedna od njih, koja prikazuje ram u obratnoj perspektivi veoma podseca na pomenuti mozaik iz Antiohije i asocira na izvesne radove M.K.Esera ili na mnostvo srednjevekovnih slika sa primenom kontra-perspektive. Osnovni elementi "Prostornog mozaika" opisuju razlicite temene situacije i mogu se koristiti za eksperimentalno istrazivanje vizuelne percepcije, u pokusaju nalazenja kriterijuma ostvarivosti nekog trodimenzionog objekta, koji rekonstruisemo na osnovu njegovog crteza. Ako u igru ukljucimo i Arhimedove (uniformne) ravanske mozaike, mozemo dobiti beskonacnu kolekciju (mogucih) i nemogucih objekata, polazeci od elementarnih, pa sve do slozenih formi, slicnih onima koje su prikazane u knjizi L'aventure des figures impossibles by B.Ernst, ili umetnickim kreacijama T.Farkasa.

    "Da li su nemoguci objekti moguci?". Ovo pitanje je naslov clanka Z.Kulpe, koji objasnjava da svojstvo "biti jedan nemoguci objekat" nije osobina crteza samog po sebi, nego nacin njegove prostorne ("prirodne") interpretacije od strane posmatraca. Vec smo napomenuli da je proces vidjenja izbor jednog iz beskonacnog broja objekata, pri cemu su neki od njih moguci, a drugi nisu. Iz istog crteza nemoguceg objekta mi mozemo izvesti i neke njegove objektivne realizacije: moguce objekte koji daju istu retinalnu projekciju. Medjutim, u svakoj situaciji kada je nemoguci objekat jednostavniji od moguceg, oko i svest ce prihvatiti njega kao interpretaciju crteza. Nakon toga, posle provere prostornih odnosa medju njegovim sastavnim elementima, sledi zakljucak: to je nemoguci objekat.

    Naredno pitanje koje se odnosi na nemoguce objekte je njihov "stepen nemogucnosti", tj. nasa sposobnost da ih prepoznamo kao nemoguce. Na primer, nemoguce ramove je lako prepoznati i razlikovati od mogucih, ali u slucaju "zarubljenog tetraedra", i posebno prostornih rasporeda duzi (gde je raspored na prvoj ilustraciji nemoguc, a drugi moguc), veoma je tesko izvesti zakljucak. Na isti nacin, u slucaju poznatih Boromejskih prstenova vizuelni argumenti su nedovoljni, tako da nam je potreban matematicki dokaz njihove nemogucnosti (tj. cinjenice da se oni ne mogu ostvariti kao prostorna kompozicija tri ravna prstena).

    Ovakav tro-komponentni link (preplet) naziva se "Boromejskim prstenovima" po italijanskoj porodici iz vremena renesanse, koja ga je koristila kao porodicni grb. Kao sto su dokazali B.Lindstrom i H.O.Ceterstrom "Boromejski krugovi su nemoguci" (ovo je naslov njihovog clanka), ali su Boromejski trougli moguci. Trougao sa otvorom je deo ravni ogranicen sa dva homoteticna i koncentricna jednakostranicne trougla, tj. to je ravni trougaoni prsten. Australijski vajar Dz.Robinson postavio je tri takva trougaona prstena tako da grade strukturu (skulpturu pod nazivom Intuicija), koja predstavlja topoloski ekvivalent Boromejskih prstenova. Njen kartonski model pada usled sopstvene tezine i svodi se na simetrican lik u ravni. Piter Kromvel je nasao isti motiv kao detalj crteza u kamenu sa Gotlanda. Ovu i druge simetricne kombinacije trouglova sa otvorom razmatrao je H.S.M.Kokseter.

    Boromejski prstenovi su samo jednostavan primer iz bogatog podrucja cvorova i linkova (prepleta). U praksi, cvorovi i linkovi se javljaju kao rezultat tkanja ili pletenja, ljudskih delatnosti starih koliko i svet. Sa metematicke tacke gledista, cvor je homeomorfna slika kruga, tj. neko njegovo smestanje u trodimenzioni prostor, a link je isto takvo smestanje nekoliko krugova. Za prikazivanje cvorova i linkova u ravni, koristimo njihove projekcije. U matematici, zlatno doba projekcija cvorova je bilo krajem XIX veka. Vecini cvorova odgovara ne samo jedna, vec vise projekcija. Bez obzira na to, u svim tabelama projekcija cvorova, koje predstavljaju izvesnu vrstu matematicke tradicije koja se prenosi sa jednog autora na drugog, moguce je naci samo po jednu reprezentativnu projekciju za svaki cvor. Njihov prvi izbor izvrsio je mozda K.Reidmajster (Knotentheorie, 1932), ali je interesantno naci neki dosledan princip izbora pojedinacnih projekcija.

    U umetnosti su prepletni ornamenti prisutni od drevnih vremena. Jedan od njihovih vrhunaca su keltski prepleti, koje je sa matematicke tacke gledista analizirao P.Kromvel. Njihovu simetricnost podvlaci P.Gerdes, razmatrajuci tzv. krive generisane refleksijama koje se dobijaju na osnovu crteza u pesku iz oblasti Lunda (istocna Angola and severozapadna Zambija) ili proisticu iz Tamilskih crteza. Ako imamo neki poliomino u okviru pravilne ravanske teselacije sa sistemom (dvostranih) ogledala incidentnih sa stranicama ili upravnih u njihovim sredistima, zrak svetlosti koji polazi iz jednog takvog sredista, vraca se nakon niza odbijanja u istu tacku, opisujuci zatvorenu putanju: krivu generisanu refleksijama. Ako je poliomino potpuno prekriven takvom krivom, ona uvek predstavlja projekciju nekog cvora; u protivnom, ako je za ovakvo prekrivanje potrebno vise krivih, radi se o projekciji linka. Crtez je simetrican ili asimetrican u zavisnosti od rasporeda unutrasnjih ogledala, tako da simetricnost nije nuzno svojstvo ovakvih krivih. Medjutim, one poseduju sledece izuzetno svojstvo: modularnost. Svaka takva projekcija cvora moze biti dobijena u okviru ravanskog kvadratnog mozaika, koristeci samo pet polaznih elemenata koje sam kreirao 1994. god. i nazvao "Prepletni mozaik". Mogucnosti za modularni dizajn takvih struktura su neogranicene. Raznovrsnost dobijenih motiva moze se ostvariti topoloskim varijacijama polaznih elemenata, ali i upotrebom razlicitih polaznih poliomina, koji proisticu iz Arhimedovih (uniformnih) ravanskih teselacija. Interesantno je da otkrice modularnosti prepletnih motiva mozda pripada M.C.Eseru, koji je kreirao nekoliko osnovnih gradivnih elemenata za njihovo konstruisanje.

    Analizirajuci krive generisane refleksijama, P.Gerdes je otkrio Lunda-dizajne: ako uzastopne kvadratice kroz koje kriva prolazi naizmenicno bojimo crnom i belom bojom, dobija se crno-beli mozaik. Takav mozaik poseduje osobinu lokalne ravnoteze: svako srediste stranice je ravnomerno ukruzeno crnim i belim kvadraticima. Naravno, iz lokalne ravnoteze sledi globalna ravnoteza na nivou svake vrste i svake kolone. Svaki kvadratni Lunda-dizajn je modularni crno-beli dizajn, koji se sastoji od tri vrste osnovnih elemenata (od dve vrste unutrasnjih i jedne vrste ivicnih elemenata).

    Posto je P.Gerdes izveo Lunda-dizajne na osnovu krivih generisanih refleksijama, njihovim crno-belim bojenjem, postavlja se prirodno pitanje: da li postoje primeri Lunda-dizajna u ornamentalnoj umetnosti? Veci broj Lunda-dizajna poseduje interesantnu osobinu: ekvivalentnost lika i pozadine (crnog i belog). Drugim recima, oni su antisimetricni. Da bismo nasli odgovor na ovo pitanje moramo se vratiti izvorima: paleolitskoj i neolitskoj ornamentalnoj umetnosti.

    Pojam "meandarski ornamenti" (ili u orginalu "key-patterns") odnosi se na ornamente koji sadrze meandre (ili lice na deo kljuca koji ulazi u bravu), na kakve nailazimo u egipatskoj, grckoj, rimskoj ili kineskoj umetnosti, ornamentici Maja, i posebno, Kelta. Zahvaljujuci njihovoj vizuelnoj specificnosti, oni su u knjizi Dz.Beina Celtic Art izdvojeni u posebno poglavlje. U knjigama matematickog karaktera (cak i u monografiji Tilings and Patterns B.Grinbauma i G.C.Separda) tretirani su kao obicni ornamenti. Medjutim, u istoj knjizi, u okviru komentara ilustracije kojom zapocinje poglavlje o ornamentima, nalazi se napomena da se radi o ornamentu inspirisanom labirintima. Dz.Bein eksplicitno podvlaci vezu izmadju ovakvih ornamenata ("key-patterns"), meandara, spirala i labirinata.

    Najstariji primer meandarskih ornamenata, naveden u mojoj monografiji "Theory of Symmetry and Ornament", potice iz paleolitske umetnosti (23000 god. p.n.e., Mezin, Ukrajina). Ako ovaj ornament uporedimo sa ostalim paleolitskim ornamentima, zakljucicemo da se znacajno razlikuje od svih ostalih i da predstavlja neocekivan ili cak neverovatan domet paleolitske umetnosti. Svi ornamenti iz Mezina predstavljaju, u stvari, sistematicno istrazivanje mogucnosti izvodjenja razlicitih ornamenata iz dva osnovna elementa: dva kvadrata sa sistemom dijagonalnih paralela. Slicne konstrukcije dobijaju se kosisteci samo jedan ili dva takva polazna elementa.

    Sledeci vrhunac meandarskih ornamenata je keltska ornamentika. U svojoj knjizi, Dz.Bain pokusava da objasni njihovu konstrukciju opisujuci svaki meandarski ornament nizom brojeva koji oznacavaju broj koraka u odredjenom smeru, tako da je iz svakog meandarskog ornamenta moguce direktno ocitati odgovarajuci niz. Medjutim, nije jasno kako je moguce dobiti takav niz pri prvoj konstrukciji ornamenta. Takodje, uocljiv je veoma snazan i specifican vizuelni utisak, koji ovakvi ornamenti ostavljaju na posmatraca, slican vizuelnom dejstvu kakvo proizvode izvesni Op-art radovi. Takva Op-art dela C.Baret naziva "prekidnim sistemima", u okviru kojih je "ornament ili sistem naglo narusen ili prekinut". Kao rezultat, javlja se izrazito treperenje i blistavost. Slicne strukture dobro su poznate u teoriji vizuelne percepcije.

    Neki od meandarskih ornamenata proizvode isti takav cudan i donekle zastrasujuci vizuelni utisak, pa su korisceni kao magijska zastita od neprijatelja ili kao simbol labirinta. Meandarski ornament za zida palate u Knososu sa motivom dvostruke sekire labris), odakle mozda potice i naziv "labirint" takodje je moguce konstruisati simetricnim ponavljanjem jednog istog osnovnog elementa.

    Analizirajuci rimske labirinte mozemo uociti iste osnovne meandre ili meandarske frizove koji se javljaju i u okviru meandarskih ornamenata. Tragajuci za njihovom zajednickom osnovom na kojoj pocivaju, mozemo zakljuciti da je to antisimetrija. Na prvom primeru (rimski mozaik, Avens, Svajcarska) vidimo pravilan sistem koncentricnih krugova, narusen pojavom cetiri "dislokacije": tri cetvorougla sa po 4, i jednim sa 5 dijagonalnih linija. Oni su dobijeni od pravougaonika dimenzija 6x4 sa 9 dijagonalnih linija, u skladu sa principom antisimetrije. Pri tome, treba imati u vidu da antisimetrija izrazava ne samo kontrast suprotnosti ("crno-belo"), vec i nacelo komplementarnosti: jedinstvo suprotnosti, koje zajedno grade celinu. Ostali primeri rimskih mozaika (i njihove rekonstrukcije) su samo varihacije na istu temu: pravilan sistem koncentricnih kvadrata narusen sa nekoliko (pravilno rasporedjenih) antisimetricnih pravougaonika. Kruzni labirinti su prost topoloski ekvivalent kvadratnih, i izvedeni su direktno iz njih.

    Razmatrajuci ponovo paleolitske meandarske ornamente, kaltske ornamente i izvesne Op-art radove, sada mozemo uociti njihovu zajednicku bazu: osnovne (anti)simetricne elemente - plocice dobijene podelom pravougaonika sa sistemom dijagonalnih linija na dva antisimetricna (komplementarna) gradivna elementa, pri cemu je koriscen samo jedan od njih ili oba. Takodje mozemo posmatrati njegovu podelu na dva bojena crno-bela osnovna elementa. U pravougaoniku sa stranicama a i b, broj dijagonalnih linija je a+b-1, pa razlikujemo slucajeve a=b, a=b(mod 2) i a+b=1(mod 2). Posmatrajuci najprostiji slucaj (a=b=2), i vrseci konstrukciju po principu alterniranja smera dijagonala ("uzlazni-silazni" ili "levo-desno"), dobijamo dvostruko-antisimetricnu shemu. U okviru takvih ornamenata uocavamo njihovu "crnu" i "belu" (crvenu) komponentu, koje su ekvivelentne ukoliko je visestruka antisimetrija dosledno koriscena. Ovo ujedno objasnjava nastanak izvesnog uznemirujuceg vizuelnog utiska koji ovakvi ornamenti proizvode: stalnog utiska treperenja, koji nastaje kada oko naizmenicno uocava crni i beli ornament, oscilujuci izmedju njih. Iz "crno-belih" osnovnih elemenata dobijamo odgovarajuce crno-bele ornamenta. Niz takvih ornamenata izvedenih iz cetiri osnovna gradivna elementa prikazuje "Op(ticki) mozaik".

    Analizirajuci crno-bele ornamente koji se javljaju u istoriji, uocavamo najprostiji metod njihove konstrukcije: naizmenicno crno-belo bojenje neke izoedarske teselacije; medjutim, za neke od njih tesko je shvatiti kako su konstruisani. Mozda je u takvim situacijama koriscena visestruka antisimetrija: podela fundamentalne oblasti na nekoliko delova, a zatim primena visestruke antisimetrije. Napomenimo da visestruka antisimetrija ne predstavlja izuzetno slozeno pravilo: to je samo visestruko zakljucivanje po principu 0-1 (ili prosta primena binarnog brojnog sistema, tj. Bulovih prostora) u geometriji. Ova ideja, predlozena u mom radu Periodic Antisymmetry Tilings koriscena je, npr., za dobijanje izvesnih nestandardnih izoedarskih teselacija primenom visestruke antisimetrije.

    Pomenuti paleolitski meandarski ornamenti verovatno predstavljaju prvu upotrebu antisimetrije u ornamentalnoj umetnosti, dok su keltski meandarski ornamenti, rimski labirinti i izvesni Op-art radovi zasnovani na tom istom principu otkrivenom 23000 godina p.n.e., tako da pitanje: "Da li volite paleolitski Op-art?" mozda nije besmislica.

    Nakon otkrica da vecina antisimetrijskih ornamenata moze biti izvedena rekombinacijom samo nekoliko osnovnih elemenata ("Op(tivcki) mozaik"), kao modularne strukture (ili prosto, kao pacvork), moja dalja istrazivanja vezana za arheologiju i etnicku ornamentalnu umetnost odnose se na osnovne elemente (module) i nastanak takvih ornamenata. Ti moduli su, na primer, kvadrat sa sistemom dijagonalnih linija, dva antisimetricna kvadrata, crno-beli kvadrat (bogato koriscen u preistorijskoj i etnickoj umetnosti, poznat takodje kao element mozaika: Truseov element) i njegovi topoloski ekvivalenti koji se dobijaju zamenom pravih dijagonalnih linija kruznim lukovima.

    Posto sam uocio da su meandarski ornamenti zasnovani na antisimetriji, nastavio sam istrazivanje antisimetrije ornamenata. Polazeci od najprostijih antisimetricnih kvadrata sa samo jednom dijagonalnom oblascu, mozete izvesti beskonacan niz crno-belih ornamenata, ukljucujuci tu i mnostvo meandarskih ornamenata, razlicite neolitske ornamente, kao i kufsko pismo. Isti gradivni element je veoma poznat u renesansnoj i poznijoj evropskoj ornamentalnoj umetnosti kao osnova persijske sheme. Naravno, kufsko pismo se moze dobiti iz razlicitih osnovnih elemenata (npr. jedinicnog crnog i belog kvadrata), ali se u tom slucaju mogu javiti kvadrati dimenzija 2x2, dok predlozeni antisimetricni osnovni elementi garantuju da ce debljina svih linija biti tacno 1.

    Cesto, matematicki simetrijski pristup se razlikuje od pravila konstrukcije koriscenih u ornamentalnoj umetnosti. Na primer, matematicki koncept osnovnog asimetricnog lika ili asimetricne fundamentalne oblasti koja se umnozava dejstvom simetrija nije uvek koriscen u ornamentalnoj umetnosti. Tu se koriste osnovni simetricni ili antisimetricni likovi (moduli): rozete, bordure..., i njihovo preklapanje (npr. mnogi od islamskih ornamenata su verovatno dobijeni superpozicijom veoma jednostavnih ornamenata).

    Takodje, matematicki pristup nam nudi odgovor na pitanje: "koji ornamenti su izvedeni", ali ne i na pitanja "kako su izvedeni Ili zasto?". Njihov izvor moze biti neki radni postupak (npr., pletenje, tkanje ili korparstvo), ili primena veoma jednostavnih pravila za dobijanje razlicitih rasporeda modula. Kao primer za ovo moze posluziti pojava istih ili slicnih ornamenata izvedenih iz istih modularnih elemenata, koji se javljaju u okviru razlicitih kultura (npr., crno-beli neolitski ornamenti iz Tel-Halafa ili Kakadrou-ornamenti sa Fidzija). Nakon neolita, skoro da je nemoguce naci kulturu koja nije koristila ovakav tip ornamenata izvedenih iz crno-belog kvadrata. Pitanje je samo koliko ih je izvedeno iz istog osnovnog elementa (u smislu izvodjenja na osnovu primene simetrijskih pravila, sa ciljem dobijanja sto veceh broja razlicitih ornamenata) u okviru pojedinih kultura. Istrazujuci istoriju (intuitivne ili vizuelne) matematike izrazene kroz ornamentalnu umetnost ili njene etnomatematicke aspekte, vazno je pratiti upotrebu takvih osnovnih elemenata u okviru razlicitih kultura, njihove (geometrijske i topoloske) promene tokom vremena i moguce odnose medju kulturama.

    Takve odnose mozemo pratiti posmatrajuci osnovni element koriscen u Mezinu (Ukrajina), slicne paleolitske artefakte iz Seila-Kladovske kulture (Rumunija), ili njegovu pojavu u okviru svih neolitskih kultura: Kukuteni (Ukrajina, Moldavija, Rumunija), Gumelnica (Rumunija), Tisa (Madjarska), Vinca (Jugoslavija), Dimini (Grcka).

    U svojoj doktorskoj disertaciji L.Cikalenko je prvi uocio mogucnost da su ornamenti iz Mezina konstruisani ponavljanjem jednog modula: pravougaonika sa sistemom dijagonalnih paralela. Njegova crno-bela varijanta javlja se kao rezultat tkanja. U skladu sa tim, imajuci u vidu pojavu slicnih ili istih crno-belih ornamenata u etnickoj ornamentalnoj umetnosti, kao i u neolitskoj umetnosti razlicitih kultura, namece se ideja da su svi oni proistekli od tekstila, da bi kasnije bili preneti na ostale materijale (keramiku, drvo, kamen...). U knjizi Gotter aus Ton Nandora Kalica, takvi antisimetrijski ornamenti su okvalifikovani kao tekstilni ornamenti. Isti zakljucak potkrepljuju figure iz Vince, Tise ili Vadastre, gde su ovakvi ornamenti prikazani kao odeca. Kod vecine njih strogo je postovana ekvivalentnost (podudarnost) lika i osnove (crnog i belog dela). Na nekim potpuno ocuvanim neolitskim ornamentima to je ocigledno. Sa druge strane, ovo pravilo moze biti i pouzdana osnova za rekonstrukciju mnostva neolitskih ornamenata, sacuvanih samo delimicno, ili cak u slucaju izvesnih nebojenih ornamenata koji su proistekli iz kolornih. Posto nije verovatno da ce neki deo izvesnog ornamenta nakon umnozavanja potpuno prekriti ravan, zadovoljavajuci istovremeno veoma strog uslov ekvivalentnosti lika i osnove, verujem da je i vecina mojih predlozenih rekonstrukcija takodje tacna.

    Najinteresantniji problem je objasnjenje nacina planiranja takvih ornamenata. Koliko je tesko konstruisati tu vrstu ornamenata, mozemo videti iz Esherovih beleznica, ili pokusvajuci da ih samostalno konstruisemo. Vec smo pomenuli neka od mogucih modularnih resenja: razlicite vrste elemenata po principu "Op(tickog) mozaika", polazne elemente teselacija nastale primenom visestruke antisimetrije ili Lunda-dizajne. Napomenimo da su navedeni crno-beli monoedarski ornamenti opstiji od Lunda-dizajna: oni zadovoljavaju uslov globalne ravnoteze (podudarnost crnog i belog dela), ali obicno ne zadovoljavaju takav lokalni uslov, koji vazi za Lunda-dizajne. Bez obzira na to, interesantno je su svi monoedarski Lunda-dizajni iz knjige P.Gerdesa Lunda Geometry, koji zadovoljavaju neku ravansku grupu antisimetrije, otkriveni u neolitu. Stoga, kao otvoreno podrucje za istrazivanje namece se pitanje odnosa izmedju tehnologije rada (tkanja, pletenja, tekstila...), kompletne paleolitske i neolitske ornamentalne umetnosti sacuvane na kamenu, kosti ili keramici i implicitnog matematickog znanja kao njene osnove. Kod svih takvih ornamenata mozemo zapaziti dominaciju binarnih sistema (crno-belo, levo-desno, iznad-ispod...), tj. proste i visestruke antisimetrije.

    Pod stilom u umetnosti razmatramo specificna svojstva umetnickog izrazavanja, umetnicki postupak i nacin izvodjenja, i pravila konstrukcije koja obelezavaju pojedinacnu epohu. Tokom vremena, u shvatanju ornamenata, neodvojivih od ideje simetrije, prevladala je deskriptivna teorija ornamentalnih stilova. Klasifikujuci ornamente na osnovu njihove koncepcije: simetrije na kojoj se zasnivaju, moguce je pratiti nepromenljivost - otkrivene simetrijske zakonitosti i promenu - ornamentalne varijacije. Sa ove tacke gledista, svaka epoha ili ornamentalni stil moze biti okarakterisan geometrijskim i konstrukcionim problemima resenim u okviru ornamentalne umetnosti.

    "Stil" je izraz koji se pretezno koristi u umetnickim analizama novijih epoha: nigde necete naici na izraze "paleolitski stil" ili "neolitski stil". Sa druge strane, u okviru jednog izbora ornamenata nije tesko razlikovati paleolitske i neolitske ornamente od ostalih: oni poseduju sopstveni "stil". Pokusacemo da objasnimo egzaktne geometrijsko-simetrijske kriterijume, blisko povezane sa teorijom vizuelne percepcije, koji se javljaju kao odredjujuca svojstva svakog ornamentalnog stila.

    Pristup ornamentalnoj umetnosti sa tacke gledista teorije simetrije gotovo je u potpunosti preuzet iz matematicke kristalografije koja nam pruza odgovor na pitanje: "koji su ornamenti izvedeni", ali ne i na pitanja "kako su izvedeni" (ili zasto?). Pokusavajuci da objasnimo izvore ornamentalne umetnosti, i da svhvatimo antropoloski, socijalni, saznajni i komunikacioni smisao ornamentike, zajedno sa simetrijskim prepoznavanjem i evidencijom, za svaku epohu moramo pokusati da rekonstruisemo kompletan proces konstrukcije ornamenata. Ovo se posebno odnosi na najstarije epohe, iz kojih su sacuvani samo arheoloski nalazi. U pogledu konstrukcije ornamenata mozemo razlikovati dva moguca postupka: prosirenja simetrije sa lokalne na globalnu simetriju, i desimetrizacije ("narusavanja simetrije") koja vode od visoko-simetricnih struktura ka njihovim podgrupama simetrije. Komparativnom analizom mozemo pratiti upotrebu izvesnih osnovnih ornamentalnih (i geometrijskih) elemenata i bazicnih ornamenata u razlicitim kulturama, njihove (geometrijske i topoloske) promene u vremenu i moguce odnose medju kulturama.


  • LITERATURA
  • AUTOR
  • MONOGRAFIJA
  • UVOD
  • GALERIJA
  • ILUSTRACIJE
  • "Prostorni mozaik", "Prepletni mozaik", "Op(ticki) mozaik"
  • PREUZMI


  • This work was supported by the Research Support Scheme of the OSI/HESP, grant No. 85/1997.


    jablans@mi.sanu.ac.yu