Aproksimacija integralnih i diferencijalnih operatora i odgovarajuće primene su predmet istraživanja. Kako to pripada oblastima: teorija aproksimacija, numerička analiza i funkcionalna analiza, očekuju se novi rezultati u ovim matematičkim oblastima, softverska implementacija, kao i značajne primene u oblasti telekomunikacija, računarstva, fizike i ekonomije. Istraživanja će biti usmerena na aproksimaciju raznih klasa integralnih i diferencijalnih operatora, konstrukciju i analizu neophodnih interpolacionih operatora i kvadraturnih procesa i rešavanje integralnih jednačina i običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina. Pored linearnih operatora biće tretirani i problemi sa nelinearnim operatorima u cilju rešavanja nelinearnih zadataka. Posebna pažnja se posvećuje metodama rešavanja graničnih i početno-graničnih problema za parcijalne diferencijalne jednačine. Razmatraju se problemi konstrukcije i stabilnosti diferencijskih shema, kao i njihove konvergencije. Progres u težinskoj polinomskoj aproksimaciji biće iskori.ćen za dobijanje efikasnih i stabilnih metoda za rešavanje određenih klasa integralnih jednačina, kao i konturnih problema sa diferencijalnim jednačinama. Aproksimacija i razvoj stabilnih algoritama za neograničene operatore biće zasnovani na regularizaciji. Integralne reprezentacije specijalnih funkcija obezbediće konstrukciju brzih i efikasnih algoritama za izračunavanje specijalnih funkcija i integralnih transformacija.
Ključne reči: aproksimacija operatora; interpolacija; ortogonalnost; kvadraturne formule; diferencijalne jednačine
Aproksimacija funkcija, funkcionela i operatora čine glavni deo teorije aproksimacija i predstavljaju osnov za razvoj numeričkih i simboličkih metoda. Istraživanja u ovim oblastima, pored teorijskog progresa značajnog u oblasti matematike (teorija aproksimacija, numerička analiza, funkcionalna analiza), obezbeđuju i glavne alate za kreiranje novih matematičkih modela i kompjuterskih simulacija visoke tačnosti i daju niz novih tehnika za tretiranje veoma kompleksnih problema u mnogim primenjenim naukama. Konstrukcijom efikasnih i stabilnih algoritama i njihovom implementacijom dolazi se do visokokvalitetnog softvera za rešavanje takvih kompleksnih problema. Naša istraživanja biće usmerena u tom pravcu na aproksimaciju raznih klasa integralnih i diferencijalnih operatora definisanih na važnim funkcionalnim prostorima, kao i na konstrukciju i analizu neophodnih interpolacionih operatora, uključujući brojne primene u oblasti interpolacionih i kvadraturnih procesa, integralnih jednačina i običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina. Pored linearnih (ograničenih i neograničenih) operatora biće tretirani i problemi sa nelinearnim operatorima u cilju rešavanja nelinearnih zadataka. Dakle, vidno mesto u našim istraživanjima zauzimaće interpolacioni operatori i procesi, ali i interpolacija kao opšti princip (npr. interpolacija prostora). Za polinomske sisteme oslanjamo se na monografiju [G. Mastroianni, G.V. Milovanović, Interpolation Processes . Basic Theory and Applications, Springer Verlag, 2008]. Težinske polinomske aproksimacije, ali i specijalni nepolinomski sistemi (Mtz-ovi i drugi generalisani sistemi) mogu naći primenu u novim interpolacionim i kvadraturnim procesima i pritom obezbediti metode za rešavanje problema sa singularitetima, kvazi-singularitetima, ili pak otkloniti probleme saturacije. Progres u težinskoj polinomskoj aproksimaciji biće iskorišćen za dobijanje efikasnih i stabilnih metoda za rešavanje određenih klasa integralnih jednačina, kao i konturnih problema sa diferencijalnim jednačinama. Oslanjajući se na prethodni rad [G.V. Milovanović, A.S. Cvetković, Nonstandard Gaussian quadrature formulae based on operator values, Adv. Comput. Math. 32 (2010), 431-486], biće dalje razvijena ideja o numeričkoj konstrukciji i analizi nestandardnih kavadraturnih formula Gauss-ovog tipa, u jednoj i više dimenzija, za neke specijalne familije linearnih operatora, koji deluju u potprostorima polinoma (algebarskih, triginometrijskih, Mtz-ovih), splajnova, itd. Specijalni slučajevi sa operatorom usrednjenja (operator Steklova), diferencnim i diferencijalnim operatorima biće posebno tretirani, pri čemu će značajnu ulogu u tome imati teorija ortogonalnosti. Korišćenjem tzv. mulipl-ortogonalnih polinoma, koji su povezani sa Hermite-Pade-ovim aproksimantima [A.I. Aptekarev, Multiple orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 99 (1998), 423-447], moguće je izvesti generalisane Birkhoff-Young-ove kvadrature za analitičke funkcije u kompleksnoj ravni, dati karakterizaciju takvih kvadratura u terminima mulipl-ortogonalnih polinoma i dokazati egzistenciju i jedinstvenost ovih kvadratura. Takođe, problem konstrukcije optimalnih kvadraturnih formula u Sard-ovom smislu u nekim Hilbertovim prostorima biće predmet istraživanja. Polazeći od integralnih reprezentacija specijalnih funkcija i redova i konstrukcijom odgovarajućih kvadraturnih procesa daćemo efikasne algoritme za brzo i stabilno izračunavanje nekih klasa specijalnih funkcija, integralnih transformacija, sumiranje sporokonvergentnih redova, kao i generalisanih inverza linearnih transformacija. S obzirom na značajne primene u mnogim naučnim oblastima, integracija brzo-oscilatornih funkcija i numeričke metode za rešavanje diferencijalnih jednačina biće stalni predmet istraživanja. Posebna pažnja se posvećuje metodama rešavanja graničnih i početno-graničnih problema za parcijalne diferencijalne jednačine. Razmatraju se problemi konstrukcije i stabilnosti diferencijskih shema, kao i njihove konvergencije. Tri problema biće posebno tretirana: (1) granični i početno-granični problemi sa slabim rešenjima (konstrukcija diferencijskih shema i ispitivanje njihovih osobina, ocene brzine konvergencije saglasne s glatkošću ulaznih podataka i različiti postupci za njihovo dobijanje, diferencijske sheme na neravnomernim mrežama, koeficijentna stabilnost diferencijskih shema); (2) problemi s interfejsom i problemi sa singularnim koeficijentima, transmisioni problemi, specijalno problemi u disjunktnim oblastima (uslovi saglasnosti, uslovi konjugacije, ispitivanje osobina rešenja, odgovarajući funkcionalni prostori, apriorne ocene, diferencijske sheme i njihove osobine); (3) nelinearni granični i početno-granični problemi, specijalno "blow-up" problemi (apriorne ocene, stabilnost, ocena trenutka kada rešenje postaje neograničeno ("blow-up"), diferencijske sheme i njihove osobine - apriorne ocene, stabilnost, konvergencija, numerički "blow-up"). Fredholmove integralne jednačine druge vrste sa kompaktnim integralnim operatorima (sa lokalno glatkim i slabo singularnim jezgrima), kao i odgovarajuće jednačine sa nekompaktnim integralnim operatorima (Abel-ova jednačina, Cauchy-jeva singularna jednačina, Winer-Hopf-ova jednačina, itd.) biće predmet razmatranja. Novi projekcioni i Nystr-ovi metodi biće razvijeni, kao i neki efikasni iterativni metodi. Razvojem odgovarajuće višedimenzionalne interpolacije, razmatraće se odgovarajuće integralne jednačine u raznim domenima (poligonalne oblasti, trougaona oblast, simpleks, itd.) koji su interesantni u primenama. Posebna pažnja biće posvećena konturnim problemima za obične diferencijalne jednačine koji se mogu tretirati preko integralnih jednačina prethodnom reformulacijom, kao i integralnim jednačinama (boundary integral equations) koje su reformulacija konturnih problema za parcijalne diferencijalne jednačine. U svim slučajevima stabilnost i konvergencija predloženih procedura biće razmatrani. Takođe, predmet našeg istraživanja su aproksimacija i razvoj stabilnih algoritama za neograničene operatore, poput izvoda. Korišćenjem opštih principa stabilizacije (npr. metodi Tihonov-Morozova, Lavrenteva) razvijaju se stabilni numerički metodi za izračunavanje izvoda funkcija na osnovu podataka opterećenih numeričkim "šumom", primenom pogodne reformulacije slabo-uslovljenih problema na Volterine ili Fredholmove integralne jednačine. Najzad, algoritmi koji budu razvijeni na projektu biće softverski implementirani, a neki od rezultata primenjeni na konkretne probleme u oblasti telekomunikacija, kompjuterizovane tomografije i finansijske i aktuarske matematike. U cilju popularizacije nauke i veće dostupnosti rezultata istraživanja projekat će imati sajt koji će se stalno ažurirati.
Očekuju se značajni teorijski rezultati u oblasti teorije aproksimacija i numeričke analize, novi algoritmi i softverske implementacije, kao i primene u drugim oblastima matematike, fizike, telekomunikacija, ekonomije, itd. Preciznije, očekuju se novi rezultati u sledećim oblastima: (1) interpolacioni i kvadraturni procesi za probleme sa sinularitetima u jednoj i više dimenzija; (2) nestandardne kvadrature koje koriste operatorske vrednosti integranda, integracija brzooscilatornih funkcija, optimalni kvadraturni procesi . karakterizacija i konstrukcija, integracija analitičkih funkcija u kompleksnoj ravni . karakterizacija u terminima multipl-ortogonalnosti, dokaz egzistencije i jedinstvenosti; (3) aproksimacija kompaktnih i nekompaktnih integralnih operatora i primene u integralnim jednačinama, višedimenzionalne integralne jednačine u raznim domenima (poligonalne oblasti, trougaona oblast, simpleks); (4) granični problemi za obične i parcijalne diferencijalne jednačine tretirani preko integralnih jednačina, prethodnom reformulacijom; (5) granični i početno-granični problemi za parcijalne diferencijalne jednačine sa slabim rešenjima - konstrukcija diferencijskih shema na ravnomernim i neravnomernim mrežama i ispitivanje osobina, ocena konvergencije, koeficijentna stabilnost; (6) problemi s interfejsom i problemi sa singularnim koeficijentima, transmisioni problemi; (7) nelinearni granični i početno-granični problemi za parcijalne diferencijalne jednačine; (8) nelinearne integralne jednačine; (9) aproksimacija i razvoj stabilnih algoritama za neograničene operatore . regularizacija i dobijanje stabilnih metoda za diferenciranje; (10) integralne reprezentacije specijalnih funkcija i redova - konstrukcija brzih i efikasnih algoritama za izračunavanje nekih klasa specijalnih funkcija, integralnih transformacija, sumiranje sporokonvergentnih redova, kao i generalisanih inverza linearnih transformacija. Rezultati istraživanja biće objavljivani u vodećim međunarodnim časopisima, a očekivanja su da se pojavi i jedna monografija kao nastavak prethodne [G. Mastroianni, G.V. Milovanović, Interpolation Processes . Basic Theory and Applications, Springer Verlag, 2008], koja bi obuhvatila neke od problema koji su predmet istraživanja na ovom projektu. Takođe, kao rezultat projekta biće nekoliko softverskih paketa koji se odnose na rešavanje integralnih i diferencijalnih jednačina. Najzad, za pet studenata doktorskih studija koji su uključeni na projektu očekujemo uspešan završetak studija i njihovo aktivno uključivanje u naučno-istraživački rad.
U toku prve godine istraživanja, nakon upoznavanja istraživačkog tima sa zadacima i prikupljanja naučne dokumentacije, sledi studiozno proučavanje raspoloživog materijala i organizovanje internih seminara istraživačkog tima, uz aktivno uključivanje mlađih saradnika - studenata doktorskih studija. Oslanjajući se na istraživanja iz prethodnih (petogodišnjih) projekata Ministarstva za nauku i tehnološki razvoj Srbije (#144004 i #144005) i projekata iz programa SCOPES: Joint Research Project No. IB7320-111079 (Swiss National Scientific Foundation), Milovanović, Cvetković i Mastroianni baviće se nestandardnim kvadraturama u jednoj i više dimenzija, koje koriste operatorske vrednosti integranda. Pored numeričke konstrukcije i analize formula maksimalnog stepena tačnosti za neke specijalne familije linearnih operatora koji deluju u potprostorima polinoma, razmatraće se i specijalni slučajevi sa operatorom usrednjenja (operator Steklova), diferencnim i diferencijalnim operatorima, pri čemu će značajnu ulogu u tome imati teorija ortogonalnosti. Započeće se i aktivnosti na konstrukciji kvadraturnih formula za integraciju analitičkih funkcija u kompleksnoj ravni koje generališu poznate Birkhoff-Young-ove kvadrature. Karakterizacija u terminima multipl-ortogonalnosti obezbediće dokaz egzistencije i jedinstvenosti takvih kvadratura. Progres u težinskoj polinomskoj aproksimaciji [videti: G. Mastroianni, G.V. Milovanović, Interpolation Processes . Basic Theory and Applications, Springer Verlag, 2008] biće iskorišćen za dobijanje efikasnih i stabilnih metoda za rešavanje određenih klasa integralnih jednačina, kao i konturnih problema sa diferencijalnim jednačinama. Na ovaj način, novi projekcioni i Nystr-ovi metodi biće razvijeni za Fredholmove integralne jednačine druge vrste sa kompaktnim integralnim operatorima, sa lokalno glatkim i slabo singularnim jezgrima. Odgovarajuće jednačine sa nekompaktnim integralnim operatorima (Abel-ova jednačina, Cauchy-jeva singularna jednačina, Winer-Hopf-ova jednačina, itd.) biće takođe predmet razmatranja. Integracijom brzooscilatornih funkcija posebno će se baviti u ovom periodu Cvetković i Stanić, a razvojem optimalnih kvadraturnih formula u Sard-ovom smislu u nekim Hilbertovim prostorima baviće se Milovanović. Jovanović i Si radiće na problemima za parcijalne diferencijalne jednačine (granični i početno-granični problemi sa slabim rešenjima, konstrukcija diferencijskih shema na ravnomernim i neravnomernim mrežama i ispitivanje osobina, ocena konvergencije, nelinearni problemi, Fokker-Planck i Navier-Stokes-Fokker-Planck jednačine, itd.). Integralnim reprezentacijama specijalnih funkcija i redova i generalisanim inverzama linearnih transformacija baviće se Milovanović, Cvetković, Cakić i Stanić. Takođe, započeće se i sa softverskom implementacijom dobijenih algoritama. Od istraživačkog tima očekuje se publikovanje većeg broja radova u međunarodnim časopisima, kao i prezentacija ključnih razultata na naučnim konferencijama u zemlji i inostranstvu. Posebna pažnja biće posvećena popularizaciji nauke, posebno kod mladih ljudi. Od studenta doktorskih studija očekuje se permanentno praćenje predavanja, izrada seminarskih radova na pojedine teme u vezi sa projektnim zadacima i uspešno polaganje ispita na doktorskim studijama. U cilju popularizacije nauke i veće dostupnosti rezultata istraživanja projekat će imati sajt koji će se stalno ažurirati.
U narednim godinama, nastaviće se istraživanja na temama započetim u prvoj godini istraživanja. Korišćenjem dobijenih rezultata, istraživački tim će proširiti svoje aktivnosti na više novih problema. Težinske polinomske aproksimacije i specijalni nepolinomski sistemi (Mtz-ovi i drugi generalisani sistemi) igraće značajnu ulogu u istraživanjima. Njihovom primenom dobiće se novi interpolacioni i kvadraturni procesi kojim se otklanja problem saturacije koji je prisutan kod klasičnih metoda, ali će se razviti i metode za rešavanje problema sa singularitetima, kvazi-singularitetima, itd. Takođe, interpolacioni problemi u više dimenzija za neke specijalne oblasti (poligonalne oblasti, trougaona oblast, simpleks, .) biće predmet istraživanja, kao i primene u integralnim jednačinama. Odgovarajuće višedimenzionalne interpolacije omogući će razvoj efikasnih algoritama za odgovarajuće integralne jednačine u raznim domenima koji su interesantni u primenama. Problemi konvergencije i softverska implementacija algoritama biće posebno tretirani. Pogodnom reformulacijom konturnih problema za obične diferencijalne jednačine, takvi problemi se mogu razmatrati preko integralnih jednačina. Slično, reformulacija konturnih problema za parcijalne diferencijalne jednačine vodi ka jednoj klasi integralnih jednačina (boundary integral equations). Rešavanje konturnih problema za obične i parcijalne diferencijalne jednačine ovakvim pristupom zaokupljaće pažnju istraživačkog tima tokom čitavog perioda. U svim slučajevima stabilnost i konvergencija predloženih procedura biće razmatrani. Kod parcijalnih diferencijalnih jednačina biće tretirani problemi s interfejsom i problemi sa singularnim koeficijentima, transmisioni problemi, kao i specijalni problemi u disjunktnim oblastima, pri čemu će se razmatrati uslovi saglasnosti, uslovi konjugacije, ispitivaće se osobina rešenja, odgovarajući funkcionalni prostori, apriorne ocene, diferencijske sheme i njihove osobine. Takođe, se planira i razmatranje nelinearnih graničnih i početno-graničnih problema, a posebno tzv. "blow-up" problema. Cilj je dobijanje apriornih ocena, ispitivanje stabilnosti i ocena trenutka kada rešenje postaje neograničeno ("blow-up"). Razmatraće se diferencijske sheme i njihove osobine (apriorne ocene, stabilnost, konvergencija, numerički "blow-up"). Aproksimacija i razvoj stabilnih algoritama za neograničene operatore je poseban izazov (videti: [Charles W. Groetsch, Stable Approximate Evaluation of Unbounded Operators, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1894, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 2007]). Kao tipičan primer je aproksimacija izvoda. U tom smislu, planira se korišćenje opštih principa stabilizacije (npr. metodi Tihonov-Morozova, Lavrenteva) u cilju razvoja stabilnih numeričkih metoda za izračunavanje izvoda (proizvoljnog reda) funkcija, na osnovu podataka opterećenih numeričkim "šumom". Primenom pogodne reformulacije slabo-uslovljenih problema, problem se svodi na Volterine ili Fredholmove integralne jednačine. Algoritmi koji budu razvijeni na projektu biće softverski implementirani, a neki od rezultata primenjeni na konkretne probleme u oblasti telekomunikacija, kompjuterizovane tomografije i finansijske i aktuarske matematike. Kao rezultat istraživanja očekuje se objavljivanje oko 50 naučnih radova u međunarodnim časopisima, jedna monografija kod poznatog svetskog izdavača, kao i prezentacija ključnih razultata na naučnim konferencijama u zemlji i inostranstvu. Svake godine pažnja će biti posvećena popularizaciji nauke, posebno kod mladih ljudi. Od studenta doktorskih studija očekuje se izrada seminarskih radova na pojedine teme u vezi sa projektnim zadacima, objavljivanje radova u domaćim i međunarodnim časopisima i uspešan završetak doktorskih studija.
Značaj istražiavanja je pre svega u oblasti teorije aproksimacija, numeričke analize i funkcionalne analize uopšte, ali se ogleda i kroz primenu dobijenih rezultata u drugim oblastima nauke i tehnike. Konstruktivne aproksimacije operatora se mogu sagledati kroz procese konvergencije niza operatora u odgovarajućim funkcionalnim prostorima. Problem konstrukcije konvergentnog niza operatora je usko povezan sa poznavanjem osobina funkcionalnog prostora u kome se proces odvija. Ne retko, egzistencija niza operatora, sa nekom specijalnom osobinom, koji konvergira ka proizvoljnom elementu funkcionalnog prostora omogućava suštinske uvide u strukturu prostora koji se izučava. Naravno, konstrukcija niza operatora sa specijalnom osobinom, recimo operatora konačnog ranga, je od suštinske važnosti za konstrukciju efikasnih numeričkih metoda. U osnovi, numerička analiza objedinjava rezultate teorije aproksimacija i funkcionalne analize za konstrukciju uspešnih algoritama i softvera koji se koriste za numerička izračunavanja. Konstrukcija efikasnih numeričkih algoritama i revizija postojećih je još jedan aspekt u kome se može sagledati značaj istraživanja na ovom projektu. Planirana istraživanja obuhvataju konstrukciju numeričkih algoritama za aproksimaciju integralnih i diferencijalnih operatora. Aproksimacija vrednosti integralnih operatora je od značaja sama po sebi. Numerička integracija je neizbežna u fizici, hemiji, tehničkim naukama, ekonomiji, itd. Sve više, ovi metodi analize nalaze primene danas i u biologiji i drugim naukama koje nisu tradicionalno povezane sa matematikom. Aproksimacije integralnih operatora obezbeđuju metode za rešavanje integralnih jednačina, što je predmet istraživanja na projektu. Posebno se tretiraju konstrukcije aproksimacija rešenja integralnih jednačina Fredholmovog tipa prve i druge vrste, Abel-ove, Cauchy-jeve, Winer-Hopf-ove i druge. Fredholmove integralne jednačine nalaze primenu u procesiranju signala. Abel-ova integralna jednačina se javlja u mnogim primenama vezanim za interferometriju, stereografiju, seizmologiju, tomografiju. Cauchy-jeva integralna jednačina ima primene u mehanici, na primer aeronautici, a sam integralni operator ima primene u mnogim inverznim problemima. Aproksimacija rešenja, koja se dobija aproksimacijom integralnih operatora, u primenama obično dobija interpolacionu formu. U mnogim slučajevima rešenja nisu glatka, pa je iz ugla same mogućnosti izračunavanja na računskim mašinama, neophodna primena donekle modifikovanih numeričkih metoda koji daju usrednjene vrednosti rešenja u interpolacionim čvorovima. Takođe, pojava singulariteta utiče na potrebu promene prostora u kome se rešenja posmatraju i u kojima je konvergencija aproksimacije moguća. Numerički metodi za aproksimaciju diferencijalnih operatora, takođe, omogućavaju konstrukciju aproksimacije rešenja odgovarajućih diferencijalnih jednačina. Klasa diferencijalnih operatora koja će specijalno biti izučavana jesu diferencijalni operatori vezani za Fokker-Planck-ovu diferencijalnu jednačinu. Aproksimacija rešenja Fokker-Planck-ove diferencijalne jednačine omogućava primene u kvantnoj fizici, telekomunikacijama, ekonomiji i svim oblastima nauke i tehnike u kojima se izučavaju slučajni procesi. Druga grupa rezultata je usmerena na izučavanje Navier-Stokes-ove jednačine i poznatih problema vezanih za konstrukciju numeričkih algoritama koji omogućavaju efikasno rešavanje ove klase diferencijalnih jednačina. Primena Navier-Stokes-ove jednačine su brojne; pomenimo samo činjenicu da one u potpunosti opisuju kretanje fluida u mehanici. Istraživanja se posebno odnose i na razvoj numeričkih metoda vezanih za metode regularizacije jednačina sa neograničenim operatorima. Implementacija novih algoritama razvijenih tokom istraživanja i konstrukcija visokokvalitetnog softvera su ciljevi projekta. To će značajno proširiti primenu novih metoda u drugim oblastima od strane naučnika koji nisu direktno i profesionalno vezani za numeričku analizu. Najzad, značaj istraživanja se može sagledati i po obimu literature koja se publikuje iz oblasti koje su predmet istraživanja. Pored velikog broja radova i knjiga koji se publikuju u svetu iz ovih oblasti, pominjemo samo neke od naslova koji na neki način odslikavaju spektar mogućih primena: [1] F. Sauvigny, Partial Differential Equations 1: Foundations and Integral Representations, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 2007; [2] F. Sauvigny, Partial Differential Equations 2: Functional Analytic Methods, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 2007; [3] Ch. W. Groetsch, Stable Approximate Evaluation of Unbounded Operators, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1894, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 2007; [4] C. Bardaro, J. Musielak, G. Vinti, Nonlinear Integral Operators and Applications, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, Vol. 9, Walter de Gruyter, Berlin - New York, 2003; [5] P.D. Lax, Hyperbolic Partial Differential Equations, AMS, 2006; [6] D. Duffy, Finite Difference Methods in Financial Engineering: A Partial Differential Equations Approach, Willey, 2006.