En el siglo V a.c, no solamente floreció la escuela pitagórica, sino que fué también la época de los famosos escultores griegos Fidias y Policletos (Policletus) y de grandes logros en la arquitectura, incluyendo el edificio del Partenón en Atenas. Pitágoras mismo, nació alrededor de 560 a.c en Samos, una isla muy cerca de la línea costera de la Turquía moderna, pero se mudó a la "Magna Grecia" (El sur de Italia) y fundó una escuela religiosa y filosófica en Croton (Kroton), ahora Crotone en Calabria. Aunque al comienzo del siglo V a.c, siguieron algunos conflictos con los lideres locales, fue forzado a irse y se retiró a Metapontum (ahora Metaponto), los miembros de su escuela, los pitagóricos, permanecieron activos en Croton. En la mitad del siglo V, después de más problemas allí, se mudaron en parte a la ciudad cercana de Tarentum (hoy Taranto), y otros a la parte central griega. Obviamente estos eventos contribuyeron al esparcimiento de las ideas pitagóricas en círculos más amplios, a pesar del elemento secreto del movimiento.

Originalmente, la escuela pitagórica tenía una fuerte jerarquía con dos tipos de miembros, los akousmatikoi, los "oidores", y los mathêmatikoi, los "discipulos aprendices" a quienes se les permitía preguntar y discutir sus puntos de vista.(el verbo akouein "oir" es también la raíz del término moderno "acústica", mientras que mathanein significa "aprehender") siguiendo el interés creciente de los pitagóricos en los números y en las figuras geométricas, la palabra mathêma ganó un nuevo significado más allá de algo aprendido y se transformó asociativa de un nuevo campo de estudio: mathêmatike o en su forma neutral matemática. Interesantemente, el teorema de Pitágoras sobre los lados y la hipotenusa de un triángulo de ángulo recto, había sido concebido en Babilonia desde los tiempos Hammurabi (1800 a.c), era usado en cuestiones prácticas en Egipto, y también descubierto en China desde tiempos inmemorables. Quizá las contribuciones pitagóricas fueron más allá de una formulación general del teorema y de su prueba matemática, que además no fue definida por Pitágoras. Ellos también tenían interés en el Pentagrama o estrella de cinco puntas y descubrieron tres de los cinco poliedros regulares: El tetraedro, el cubo y el dodecaedro. Debemos siempre añadir "probablemente" ya que no existen fuentes que hayan sobrevivido a este periodo y los estudios subsiguientes están interconectados con leyendas. Por ejemplo, la historia ingenua y cuestionable del siglo II d.c de que el pentagrama, el cuál era conocido por muchas culturas anteriores, se había vuelto un símbolo secreto de reconocimiento entre los pitagóricos.¿ Como es que un símbolo simple y ampliamente conocido, sirve como símbolo "secreto" de reconocimiento? Sin embargo podemos aceptar parte de la historia, que está también apoyada en otras fuentes, de que los pitagóricos preferían el pentagrama como un símbolo y asociado a la salud y otras ideas. De hecho, el interés de los pitagóricos no estaba limitado a cuestiones matemáticas, sino que estaban amalgamadas con musicología, astronomía, filosofía, estética e ideas religiosas. Ellos descubrieron las armonías musicales, intervalos donde dos tonos sonaban bien juntos (consonancia), y puede ser descrita por razones simples del largo de una cuerda vibratoria (monocordio): ½(octava), 2/3 (quinta), ¾ (cuartos), 3/5 ( sexta mayor), etc [2]. Siguiendo este éxito, ellos extendieron el énfasis de las relaciones numéricas en todas las cosas, incluyendo el cuerpo de los movimientos celestiales. ¿Cooperaron los pitagóricos con los artistas visuales? El hermetismo del movimiento estaba en contra de ello, pero el interés de los matemáticos por el arte pudo haber estimulado discusiones informales. Así, el "canon" de Policleto que está resumido en un libro e ilustrado por una escultura, pudo haber tenido influencia de la doctrina pitagórica en cuanto a la importancia de los números. De alguna forma, Policleto empezó a pensar en términos de espacios conmensurables (simetría), con razones apropiadas de entidades completas, tal como era discutida la teoría musical de la armonía de los pitagóricos, y esta aproximación le ayudo para establecer su canon. Paralelamente los pitagóricos estaban felices de que sus teorías tuvieran una justificación en el campo de la escultura. La hipótesis de esta relación mutua, está basada en evidencia externa[3]. De otro lado, no nos debemos sorprender de que un "eslabón perdido", un documento convincente, no se encuentre disponible. Ninguna de las partes ha tenido mucho interés en darle un énfasis exagerado a esta conexión.

Policleto tuvo un gran éxito por su canon y tan es así, que ello se constituyó en una innovación en el campo artístico. Y por otro lado, los documentos que sobrevivieron de autores pitagóricos que fueron escritos en épocas posteriores, son famosos por enfatizar su propio éxito: Quizá no había mucho espacio en sus escritos para dar crédito a un extraño.

Veamos el periodo del siglo V a.c, con un espectro amplio, enfocándonos no solamente en Grecia. En primer lugar debemos resaltar que tanto el arte como las matemáticas griegas, fueron fertilizados por los logros hechos tempranamente en Babilonia y Egipto. Los griegos sin embargo, fueron más allá de las matemáticas prácticas de los periodos tempranos con teoremas y demostraciones y renovaron las formas existentes en la escultura y la arquitectura con una nueva estética. El siglo V a.c es también la época de muchos desarrollos en la cultura judía. Poco antes del advenimiento de este siglo, los judíos reconstruyeron la Jerusalem y el templo arrasados, eventos que marcan el surgimiento del periodo del segundo templo. La renovación de la vida espiritual comenzó a mediados del siglo V a.c, cuando muchos judíos, incluyendo Nehemias y Ezra el escriba, retornaron del exilio de Babilonia a Jerusalem. La Torah, que contiene el Pentateuco y los cinco libros de Moisés, se convirtieron en la base moral de los judíos. La revelación de la existencia de un único Dios verdadero en el segundo mandamiento (el cuál se convirtió en el primer mandamiento del cristianismo) está seguido por una declaración de prohibición de la construcción de ídolos (éxodo 20:4 y Deuteronomio 5:8), esto conllevó a la restricción de las artes visuales (Iconoclasia), pero la representación de la figura, no estaba totalmente excluida [4]. De otro lado, esta prohibición incrementó los motivos geométricos, incluyendo el pentagrama (estrella de 5 puntas) y el hexagrama (estrella de 6 puntas). No hay ninguna evidencia de que estas figuras hayan tenido alguna significación especial, más allá de su propósito ornamental. La asociación del hexagrama en el sello o en el escudo del rey David y su hijo el rey Salomón (XI y X a.c) no tiene una base clara, ya que el primer ejemplo del hexagrama en un escudo data del siglo VII a.c. Este símbolo no se encuentra en las fuentes antiguas de la magia judía. Sin embargo, tanto el hexagrama como el pentagrama se volvieron populares en el periodo de la reconstrucción del segundo templo [5]. Claro que su uso no estaba limitado sólo a los judíos sino que apareció en varias culturas.

Sin embargo existía una diferencia importante: La mayoría de las culturas tenían muchos símbolos figurativos aplicados a sellos o escudos de armas, (lo cuál sugiere diseños pictóricos, mientras que la iconoclasia judío prevenía la formación de tales tradiciones. El pentagrama como ya hemos visto, era usado como pictograma en Babilonia y en los círculos pitagóricos (y aunque este es un ejemplo muy posterior, los japoneses lo llamaban "el sello de Abe Samei" refiriéndose al famoso geománcico del yin y el yan en el periodo medio de Heian, alrededor del año 1000).

Quizá esta circunstancia contribuyó a que el hexagrama se convirtiera gradualmente en un símbolo para los judíos. Sin embargo esto no ocurrió en épocas antiguas y su nombre popular; la estrella de David (magen David) no es antigua. El primer uso conocido de este término es en el siglo XII, pero en este tiempo no se refería al hexagrama sino a las inscripciones en el escudo: 72 nombres divinos (exodo 14:19-21), después salmo 67, escrito con la forma de una Menorah (candelabro). Es interesante que el primer caso donde aparece el nombre de David sin mencionar el escudo y el hexagrama estan conectados en una urna funeraria en Tarento, al sur de Italia en el siglo VI [5]. ¿Existía allí alguna influencia de las tradiciones pitagóricas, considerando el hecho, de que este mismo lugar fue su centro, en épocas anteriores? El nombre "sello de Salomón" que ocasionalmente se refiere tanto al hexagrama como al pentagrama es probablemente de fuentes cristianas. Mientras que el pentagrama es, matemáticamente unicursivo y lo podemos dibujar sin levantar la mano del papel, el hexagrama es la unión de dos triángulos equilateros. Este hecho brinda la posibilidad de interpretaciones variadas tanto simbólicas como místicas. Yo me puedo imaginar que tales ideas "matemático-visuales" también contribuyeron, con el hecho de que en la literatura cabalística medieval, el hexagrama fue frecuentemente utilizado. La cabála (o kabbalah), el misticismo y teosofía judío del siglo XII, continúa las tradiciones antiguas del estudio de escrituras místicas y herméticas, incluyendo el significado mágico de números y letras.

Obviamente la Iconoclasia ayudó a formar este interés, mientras la tradición cristiana desarrollaba varias formas de "interpretaciones visuales" de la biblia en pinturas y esculturas. Sin embargo, los libros cabalísticos, también requerían algunas ilustraciones y esta tendencia desembocó en un interés por los símbolos geométricos y su interpretación mágica. Las seis lineas del hexagrama dividen la figura en siete partes: Una parte interna mayor (hexagono) y seis de afuera (triángulos). Los autores cabalísticos frecuentemente escribían las letras dentro de estas "celdas". Incluso, algunas veces las anotaciones biblicas eran escritas en forma de hexagrama (anticipándose a los caligramas de G. Apollinaire, con su idea de "poesía visual" en el siglo XX). En la mitad del siglo XIV el hexagrama apareció en la bandera de la comunidad judía de Praga (La bandera del rey David). El otro símbolo visual que podía competir con el hexagrama en la cultura judía moderna es la imagen de la Menorah (el candelabro). Es mucho más antiguo como símbolo y también tiene en una forma mucho más abstracta, dimensiones místicas y cósmicas (Por ejemplo, las siete ramas corresponden a los siete cielos y los siete planetas).

Retornando a otras regiones, en la India han existido rituales geométricos interesantes de la tradición de construcción de altares en distinta forma. Desde temprano los Sulvasutras, que son los textos asociados con los vedas, pero de una antigüedad no mayor del siglo VII, describen esta actividad en detalle. Estos textos están considerados como los trabajos más antiguos de naturaleza matemática que han sobrevivido en la India. Es interesante resaltar que Zoroastro en Persia, Lao Tze y Confucio en la China, Budah en la India y Pitágoras en la "magna Grecia", fueron todos ellos contemporaneos por un periodo corto en el siglo VI a.c. Los tres más jóvenes de entre ellos Confucio, Budah y Pitágoras, fallecieron casi al mismo tiempo, alrededor del 480 a.c. Esta coincidencia, o como diría el Psicólogo Jung, esta sincronicidad es sorprendente, aún si admitimos los signos de interrogación sobre estos datos biográficos. Siguiendo las enseñanzas de estos hombres, el Zoroastranismo, Taoismo, Confucionismo y Budismo, se volvieron importantes sistemas religiosos en donde las cuestiones filosóficas y estéticas son también abordables, añadiendo que el confucionismo puede ser mejor entendido como una fuerza moral que como una religión formal.

La parte básica del I ching o Yiing (El libro de los cambios , aquí, el i o el yi, también se refiere a adivinación o a oráculo) se escribió antes, pero algunas tradiciones lo atribuyen a Confucio. Este último punto de vista es cuestionable, pero quizá, algunos de los apéndices fueron escritos por miembros de la escuela de Confucio. El I Ching provee con una serie de conceptos universales y con una numerología cósmica (usando aquí, el término de Joseph Needham). La lista de conceptos y los números relacionados están relacionados en una forma binaria. Específicamente la clasificación está hecha de acuerdo al 64=(26) hexagramas, seis –líneas de figuras en donde cada una esta "abierta" (--) o "completa" (---). No debemos confundir el hexagrama de líneas paralelas con el hexagrama donde las seis lineas forman una estrella de seis puntas, aquella descrita anteriormente como la estrella de David.) Estos métodos de adivinación, pudieron haber contribuido al interés numerológico de los chinos, mientras que al mismo tiempo los oráculos pitagóricos y otros griegos se enfocaban tanto en los números como en las formas. La influencia del IChing, fue más allá de la práctica de la adivinación y se convirtió en uno de los "cinco clásicos" del confucianismo y le ayudo a crecer al budismo.

Las ideas religiosas pitagóricas- sin embargo- no llevan a un sistema nuevo (o a escrituras relacionadas) pero contribuyeron al nacimiento de la geometría moderna, la teoría del número, la musicología como también a la filosofía. Durante un periodo relativamente corto las escuelas filosóficas de Sócrates (cerca del 470-399 a.c) Democrito (460.371 a.c), Platón (427-347 a.c) y Aristóteles (384-322 a.c) nacieron, el comienzo de la dialéctica y la lógica matemática por las paradojas de Zenon de Elea (490-430 a.c)(notemos que el principal elemento del Zoroastranismo, la lucha entre el bien y el mal, también puede asociarse como una forma de pensamiento dialéctico). Los debates filosóficos griegos y la dialéctica, la refutación entre opuestos a partir de llegar a conclusiones inaceptables, de sus consideraciones (reductio ad absurdum), también tuvo impacto en el pensamiento matemático y llevó al método de demostración indirecta.

Por ejemplo, podemos demostrar que V 2 no es un número racional por suposición de que aún lo escribimos en la forma de a/b (caso opuesto). Después manipulando esta fracción, producimos una contradicción y concluimos que a/b no existe. En el marco de este tipo de demostraciones, manipulamos objetos no-existentes en un mundo"imaginario". Y desde este tiempo vemos la bifurcación de ideas matemáticas: Aquellas que han sido usadas por artistas y artesanos (Vitruvio hizó un discernimiento sobre esto) versus aquellos que conllevaron a la abstracción matemática con axiomas, definiciones, teoremas y demostraciones (Euclides 300 a.c). Las matemáticas y la filosofía griegas contribuyeron significativamente al modo occidental de conocer la naturaleza por hipótesis científicas y modelos matemáticos. Los chinos se aproximan a la naturaleza por observación directa e intuición estética. Esta última es de gran valor, pero permanece aún como poco efectiva para explicar los fenómenos de la naturaleza y predecirla.

Los chinos produjeron algunos resultados similares a los logros griegos, por ejemplo la escuela de las formas y los hombres (Hsing Ming Chia) o los lógicos que florecieron en el siglo IV y III a.c. quienes pueden ser comparados con Zenon y su grupo en Elea (V a.c) El enfoque de los griegos en Geometría fue más útil para crear modelos matemático-visuales en Astronomía y Mecánica.

Por último pero no lo de menos, el trasfondo social en Grecia también contribuyó a los grandes logros del siglo V: El fín de las guerras pérsicas, la era de Pericles con paz y prosperidad y la formación de la democracia griega. Considerando el periodo de más de 1.200 años desde el poeta Homero y el matemático Proclo, es realmente admirable que tantos desarrollos en matemáticas y en el arte hayan tenido lugar en el siglo V a.c.