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Los historiadores son más precisos en considerar como la época helenística a los periodos comprendidos entre la muerte de Alejandro Magno (323 a.c) al establecimiento del imperio romano (31 a.c). Nosotros marcamos el mismo periodo por los "elementos" de Euclides (stoicheia) en el 300 a.c; el libro más conocido de matemáticas en la historia de la humanidad, y el de Vitruvio "De Architectura (27 14 a.c?)el único libro sobreviviente sobre artes visuales. Aunque este último está escrito por un arquitecto romano en latín, su espíritu es más griego que romano. Nosotros admitimos inmediatamente, la subjetividad implicada en el énfasis de estos dos libros ya que había trabajos similares en la antigüedad. Sin embargo estos libros no están en existencia y por tanto nos debemos apoyar, en estos trabajos comprensivos en parte compilados y en parte originales, para poder tener un entendimiento más profundo de las matemáticas y del arte griego respectivamente. Una característica importante de los rasgos de la era helenística,es que gran parte del hermetismo y misticismo que rodeaba las ideas científicas y artísticas, que eran típicas de los pitagóricos, los sacerdotes egipcios y las tradiciones herméticas y de otros movimientos anteriores, desapareciero. Había escuelas públicas alrededor de importantes académicos, las teorías estéticas y científicas eran abiertamente discutidas y ocasionalmente resumidas en libros. Volvamos a nuestra pregunta principal:¿Cuál era la relación entre arte y matemáticas en este periodo? Después de que las matemáticas se volvieron una ciencia axiomática con un sistema deductivo, había aún menos cooperación entre las dos partes. Euclides no se refirió a problemas matemáticos relacionados con las artes y la arquitectura y posteriormente, Vitruvio en "De Architectura" dio crédito a varios autores pero no así a Euclides. Incluso, hay algunas historias antiguas en donde los matemáticos se burlaban de aquellos que estaban interesados en la aplicación práctica de sus resultados. Debemos mencionar aquí un factor social. Había un prejuicio entre los matemáticos y filósofos en contra del trabajo físico, el cual era realizado por esclavos. Esta actitud era en parte extendida a las formas de arte en la cual intervenía la actividad física. De hecho tenemos mucha información sobre datos biográficos de filósofos, matemáticos y dramaturgos pero poca sobre artistas. De otro lado, muchos filósofos tenían interés no solo en matemáticas sino también en la Estética, ellos contribuyeron al hecho de que algunos conceptos se utilizaran en ambos contextos, matemáticas y arte. Aquí, algunos académicos modernos se refieren a:
_Conmensuratio (matemáticas y filosofía) _ Proportio (arte y estética) En un artículo anterior demostré como el estudio medieval del texto de Vitruvio y en especial del Renacimiento es el "eslabón perdido" entre la Simetría griega y la Simetría moderna. Desde mediados del siglo XV los traductores de Vitruvio "reintrodujeron" el término de Simetría en la cultura occidental: Ellos no tuvieron mucha elección ya que el autor los forzó a distinguir entre Simetría y Proporción [6]. Interesantemente el libro de Vitruvio tiene un paralelo en la China en el caso de la teoría de las proporciones y de la Arquitectura: El Zhou li o Chou li(registrado en los ritos de la dinastía Zhou/chou siglos XII y III a.c) y de las descripciones de los deberes y asignaciones de los gobernantes oficiales. De hecho, el libro de Vitruvio y el trabajo chino fueron escritos casi al mismo tiempo y ambos trabajos estudian prácticas de tiempos tempranos; incluyendo los trabajos de arquitectos y técnicos. La figura humana como estandar de medida estaba sugerida por ambos trabajos. Sin embargo, hay una diferencia interesante entre ellos: Mientras que Vitruvio usa no sólo aritmética sino también proporciones geométricas, como las que podemos ver en la descripción del "homo ad cuadratum" y el "homo ad circulum"(que inspiró más tarde a Leonardo para el dibujo del Hombre de Vitruvio) Las descripciones en el Chou Li son siempre aritméticas con radios y números. Otro ejemplo interesante es la ciudad ideal china, que fue construida sobre la base de principios geométricos simétricos. La ciudad era en forma de cuadrado, cada lado midiendo nueve Li, que es una vieja unidad de medida cerca de 39 km. Este cuadrado estaba dividido en 9 líneas verticales y 9 líneas horizontales (avenidas) en unidades menores, mientras el palacio estaba en el centro. Este esquema se asemeja a las ciudades romanas que eran modeladas de acuerdo a campos militares. Los nuevos territorios eran ocupados, primero por el ejército y después su campo era la base de las primeras ciudades allí. Notemos sin embargo, que aquellos principios geométricos que eran escenciales en las descripciones griegas del universo, jugaban un rol menos activo en el caso de los modelos chinos, como hemos discutido anteriormente. Remanente de edificios y de la arquitectura de la época, es la versión original de los casi 2.400 kms (1.500 millas) de la gran muralla, el objeto artificial más grande hecho nunca, realizado en la frontera norte de China, en un periodo que es más o menos idéntico a la era helenística. La muralla separaba las tierras fértiles de las de los pastizales del norte (ahora del interior de Mongolia, una región autónoma de la China moderna) donde vivían los nómadas. Aunque la mayoría del trabajo se hizo en el siglo III a.c, se continuó hasta el siglo I a.c. después fue varias veces separada durante la dinastía Ming (1.368-1644), bueno, ahora nos fuimos muy lejos en espacio y en el tiempo: Retornemos a nuestro enfoque actual: La era helenística. Podemos concluir que nuestro término simetría jugó un rol importante tanto en matemáticas como en el arte. Sin embargo una afirmación similar de la seccion auréa usando el término moderno es muy problemática y quizá incorrecta. En el cuerpo sobreviviente de los antiguos textos griegos, hay muy pocas referencias a esta proporción, y todo ellos están en trabajos matemáticos. El ejemplo más tempranamente conocido está en el libro de Euclides, pero este pudo tener preliminares (Teatetus es el candidato más seguro, mientras que otros creen en Exodo y aún en los pitagóricos). Es particularmente sorprendente que el uso de las expresiones akros kai mesos logos (una recta en media y extrema razón) o en una versión más larga (eis akron kai meson logon temnein (hacer una división armónica en una recta en media y extrema razón) no sea un término técnico sino una perífrasis. Los matemáticos griegos acuñaron un gran número de términos matemáticos pero aquí, parecería que no tenían ningún interés. Esto es válido no sólo para Euclides, sino para los autores posteriores (por ejemplo el caso de Proclo, siglo V a.c) Volvamos al Arte y las humanidades. La expresión akros kai masos logos o un término alternativo para la sección auréa no está disponible para la rica literatura estético-filosófica. Nótese que algunos autores modernos confunden la sección aurea con la razón geométrica: a/b=b/c. Obviamente esta última es más general y no especifica la sección aún sin un requerimiento posterior (c=a+b). Frecuentemente, se hace la afirmación de que Platón tenía interés especialmente en la sección aurea, pero esto no esta comprobado en ninguna de sus obras. La raíz de esta afirmación es del matemático Proclo quién vivió aproximadamente 700 años más tarde e hizo la afirmación en su comentario sobre el libro de Euclides, de que Platón originó algunas preposiciones relacionadas con la sección (tomê). Sin embargo, el significado de este término no está claro: Puede ser una referencia a la "sección" euclidiana de acuerdo a la media y extrema razón (sección aurea), pero muchos historiadores y matemáticos tienen opiniones distintas (sección de sólidos, sección de líneas, etc) Notemos que en el mismo libro, Proclo utiliza esta expresión de media y extrema razón: El no propuso ningún término nuevo para este concepto. Claro esta, que la falta de registros no prueba que esta proporción no fuera utilizada del todo, pero ilustra que la sección aurea, con gran probabilidad no tenía una importancia especial en arte. Más aún, si consideramos la preferencia de los artistas por la simetría (proporción y conmensurabilidad) podríamos deducir que la sección aurea fue excluida. De hecho, esta última es una proporción inconmensurable. (el número dorado es irracional) y no puede ser conectado con simetría (conmensurabilidad).Yo admito inmediatamente que este argumento es demasiado matemático: Aunque el concepto de los artistas sobre simetría tiene su raíz matemática (conmensurabilidad) , también es factible que flexibilizaran su concepción original, significando cualquier clase de "proporciones correctas" visuales, incluyendo las que son inconmensurables. Veamos esta posibilidad en algunos trasfondos sugeridos: _ Proporciones geométricas: Los artistas pudieron haber usado no solamente razones aritméticas de pequeñas entidades completas sino también métodos geométricos para la construcción de razones inconmensurables. Hay muchos datos acerca de esta primera posibilidad, pero muy pocas para la última y esta es usualmente la razón de un lado y una diagonal de un cuadrado (1V 2=0.707) Por ejemplo, Vitruvio sugiere esto junto con 2/3 y 3/5 para la razón de la extensión de la longitud de un atrio (De Architectura, libro 6, cap 3, pag 3). _Aproximación racional del número dorado: Los radios 2/3 (0.666)….y 3/5 (=0.6) que acabamos de mencionar en Vitruvio puede ser interpretada como valores aproximados para el número irracional dorado (0.618)…….Notemos, sin embargo que Vitruvio no se refirió así a la sección aurea o a una construcción geométrica relacionada, mientras que /V 2 fue introducida geométricamente. En el caso de catapultas, Vitruvio también usó, entre otros, la razón 5/8 (=0.625 libro 10, cap. 10 pag 4-5 interpretraciones de Schramm sobre símbolos y fracciones).Paralelamente, existen desarrollos matemáticos relacionados. Así, sospechamos que el matemático Herón de Alexandria (siglo I a.c) reemplazó deliberadamente el número dorado por 5/8 = (0.625) cuando calculó el área aproximada de un pentágono (Métrica, Libro I, pag. 17-18). Interesantemente tenemos aquí una "anticipación" de la observación hecha en el siglo XVI de que las razones cercanas de los numeros Fibonacci (1, 1,2,3,5,8……..) Fn= Fn-1+ Fn-2; siglo XIII d.c) tienden al número dorado. Theon de Smirna (siglo II d.c) describió un método para la aproximación sucesiva de V2 por 3/2, 7/5, 17/12…..(números diagonales divididos por números laterales), los cuales pueden ser fácilmente extendidos para el caso del número dorado, aunque el no lo menciono [7]. Claro que estos trabajos fueron hechos muy tarde para dar forma a las tradiciones artísticas de la era helenística (I y II d.c) pero creemos que métodos semejantes se usaron antes. Aún así, existe una brecha entre estos resultados matemáticos y las motivaciones artísticas. Si buscáramos una inspiración para el uso de 2/3,3/5 y 5/8 en arte, tendríamos más razones para apuntalar a las tradiciones musicales pitagóricas que hemos discutido en el caso de Policletos: 2/3 quinta, 3/5 sexta mayor, 5/8 sexta menor [3]. _Pentagrama: Uno podría sugerir que los artistas pudieron haber estado involucrados en la sección aurea vía del pentagrama, que es usado como un símbolo de los pitagóricos. Es cierto que esta figura "manifiesta" una sección aurea, los lados intersectados por todas partes de acuerdo a esta proporción, pero siento que este argumento no es práctico. Si esbozamos un pentagrama, no necesitamos de la matemática. Aún si se requiere un dibujo muy preciso, medimos los lados y los ángulos pero difícilmente lo dibujaríamos a partir de la sección aurea. _ Proporción humana: Aunque esta es una idea retadora, todas las fuentes disponibles se refieren a razones simples de "pequeñas entidades completas". Nuevamente necesitamos aquí "retorcer" los registros para poder hablar de la sección aurea. En resumidas cuentas, no hay una evidencia convincente del uso de la sección aurea en las fuentes helenísticas. Es cierto, sin embargo, de que había una preferencia por las razones 2/3 y 3/5 que se aproximan al número dorado, sin referirse a este hecho. Podemos creer que la musicología estaba tras ello y no la seccion aurea. ¿Cuál es la base de que la "leyenda dorada" según la cuál la seccion aurea era usada por los artistas griegos frecuentemente?. El término fue introducido en aleman (der goldene schnitt) y apareció en la literatura educacional matemática, en 1.830 (F. Wolf, 1833 M. Ohm 1835), después la expresión alemana fue traducida al latín (sectio aurea) y al griego (Chrysê o Khrusê, Tomê) para ilustrar que el concepto, no así – el término es antiguo. Casi al mismo tiempo los botánicos franceses y alemanes describieron el rol de sus vecinos, los números Fibonacci en el caso de la Filotaxis (disposición de las hojas). En 1.854 A. Zeisung, publicó en un libro comprensivo sobre la sección aurea en el contexto de las proporciones humanas y discutió la importancia de este tema en arte y en la naturaleza [8]. Aunque él enfatizó que esta era su teoría, las ilustraciones llamativas que usó, dieron lugar al "seccionismo aureo". La significancia estética de la sección aurea gano apoyo adicional de G.T Fechner, un fisiólogo y psicólogo importante, quién demostró en sus tests, la preferencia por esta proporción. Inesperadamente muchas personas empezaron a buscar la sección aurea en las obras de arte, usando data mesurable, incluyendo al edificio del Partenón y las esculturas de Fidias y de Policletos, que no son las originales, sino copias posteriores (sic!). Obviamente la data mesurable, y sus razones circulares no pueden "probar" el uso consciente de la sección aurea (si bien es cierto que no podemos excluir el uso inconsciente de la seccion aurea por artistas, experimentos modernos de Psicología indican solamente una preferencia limitada de esta proporción). Aún sí, la razón de algunas longuitudes medibles dan una buena aproximación al número dorado, no podemos concluir si los artistas trataron de manifestar este momento o simplemente razones más simples que difieren de este. De hecho, 2/3, 3/5 y aún 5/8 pudieron haber tenido más allá de las preferencias visuales, raíces musicales, como lo hemos visto. La notación matemática moderna para el número dorado como Phi (Fi) de Fidias y el de Tau o Tomê (seccion) por Proclus, es distorsionado desde el punto de vista histórico. Ellos canonizan la creencia del siglo XX, más una afirmación imprecisa del siglo V d.c respectivamente! Quizá estaba lejos de la cultura griega el limitar la libertad de los artistas y considerar un número irracional como la clave del diseño en general. Cierto tipo de prejuicio en contra de los números irracionales sobrevive en su mismo término (no-racional), mientras que los griegos prefieren el poder de la razón (logos), ellos pudieron haber usado varias razones como la combinación de la intuición artística y de consideraciones teoréticas. Adicionalmente, los griegos manejaban varias figuras geométricas, desde el pentagrama hasta la poliedra regular (aunque no la llamaban simetría), y desarrollaron una sensibilidad especial por el equilibrio y la armonía. Es interesante comparar la simetría bilateral de los templos griegos con los símbolos rotacionales (en estilo y pensamiento) en el taoismo y budismo, incluyendo los motivos circulares del yin y el yan y después de las mandalas hindúes. De otro lado, la misma idea de la dialéctica
es muy diferente en la cultura occidental y en la China: La dicotomía
afirmación y negación (izquierdo y derecho, arriba y abajo)
difiere fuertemente del pensamiento tradicional chino, en donde no hay
Yin sin Yan y viceversa, y ambos están interconectados en un mismo
símbolo. Podemos añadir, sin embargo –que la simetría
bilateral y la simetría rotacional de dos vueltas en el plano son
equivalentes en el espacio tridimensional. Ambas pueden interpretarse como
la rotación alrededor de un axis, como una buena analogía
entre dos tipos de simetría.
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