PROGRAM
ODELJENJE ZA MATEMATIKU MATEMATIČKOG INSTITUTA SANU |
PROGRAM ZA JUN 2022.
PETAK, 03.06.2022. u 14:15, Kneza Mihaila 36, sala 301f i On-line
Tanja Stojadinović, Matematički fakultet, Beograd
HROMATSKE FUNKCIJE GRAFA
Hromatski polinom grafa je uveden u Birhofovom radu iz 1912. godine kao
alat za rešavanje problema četiri boje. Simetrične funkcije imaju i dužu
istoriju, pojavljuju se još u Košijevom radu iz 1815. Međutim, tek 1995.
Ričard Stenli je uveo hromatsku simetričnu funkciju grafa, kao uopštenje
hromatskog polinoma. Već četvrt veka ovo je izuzetno atraktivna oblast
istraživanja, koje je pre svega orijentisano na dva glavna pitanja
postavljena u Stenlijevom radu iz '95. Prvo je da li hromatska simetrična
funkcija razlikuje neizomorfna drveta. Do sada je ovo potvrđeno za sva
drveta sa ne više od 29 čvorova, kao i za neke beskonačne familije poput
"paukova" ili "gusenica". Drugo, važnije, je dokazivanje
Stenli-Stembridžove hipoteze: ako je poset (3+1)- slobodan (odnosno ne
sadrži lanac od tri elementa koji su svi neuporedivi sa četvrtim), onda je
hromatska funkcija njegovog grafa neuporedivosti nenegativna linearna
kombinacija elementarnih simetričnih funkcija. Ovo pitanje je i dalje
otvoreno, iako je, na primer, pozitivnost hromatske funkcije u Šurovoj bazi
odmah dokazana. Takođe, dokazani su i razni specijalni slučajevi, za puteve
ili ciklove, ili za grafove koji ne sadrže neke podgrafove. U cilju
dokazivanja hipoteze, definisana su mnoga uopštenja hromatske simetrične
funkcije, od kojih je najpoznatija kvazisimetrična hromatska funkcija koju
su uveli Šarešijan i Vaks. Njihova hipoteza iz 2012. godine povezuje
simetričnu funkciju konstruisanu kombinatorno iz grafova neuporedivosti
uređenja na jediničnim intervalima (kvazisimetričnu hromatsku funkciju tih
grafova) i simetričnu funkciju konstruisanu algebarsko-geometrijski iz
reprezentacije simetrične grupe na ekvivarijantnom kohomološkom prstenu
regularnih poluprostih Hesenbergovih varijeteta (Frobenijusovu
karakteristiku te reprezentacije). U međuvremenu su se pojavila dva dokaza
ove hipoteze, ali još uvek ima mnogo otvorenih pitanja koja povezuju ove
oblasti, a čije rešavanje bi, konačno, moglo da dovede do dokazivanja
Stenli-Stembridžove hipoteze.
Cilj ovog izlaganja je da se predstave neki od pomenutih rezultata ove
aktivne i atraktivne oblasti istraživanja u algebarskoj kombinatorici.