National Institute of the Republic of Serbia
ὅδε οἶκος, ὦ ἑταῖρε, μνημεῖον ἐστιν ζωῶν τῶν σοφῶν ἀνδρῶν, καὶ τῶν ἔργων αὐτῶν
Predmet istraživanja ovog projekta odnosi se na viskoelastične materijale frakcionog tipa i probleme optimizacije oblika elastičnih štapova uz prisustvo ograničenja. U prvom delu razmatraće se problemi formulisanja konstitutivnih jednačina viskoelastičnih tela frakcionog tipa sa diskretnim i uniformno raspoređenim izvodima realnog reda. Ispitaće se ograničenja na konstante i funkcije u konstitutivnim jednačinama, koja su posledica drugog zakona termodinamike izraženog preko Klauzijus-Dijemove nejednakosti. Za ovako formulisane konstitutivne jedančine ispitivaće se problemi egzistencije i regularnosti rešenja u različitim prostorima, u prostorima apsolutno neprekidnih funkcija i distribucija. Dobijeni rezultati istraživanja biće primenjeni na stomatološke materijale, to jest na kompozite, koji su u širokoj upotrebi u stomatologiji. Problem marginalne adaptacije stomatoloških materijala biće rešavan korišćenjem modela frakcione viskoelastičnosti. Razmatraće se i problemi optimizacije oblika elastičnih štapova primenom varijacionih metoda i Pontrijaginovog principa maksimuma. Posebna pažnja posvetiće se ograničenjima na površinu poprečnog preseka (pripisane su maksimalna i minimalna vrednost povšine poprečnog preseka). Razvijaće numerički metodi određivanja optimalnog oblika štapa. Ispitivaće se i poslekritično ponašanje optimalno oblikovanog štapa. Pri tome, će se ispitivati stabilnost ravnotežnih konfiguracija, koja su posledica bifurkacije ravnotežnog položaja u kome je osa štapa prava.
Istraživanja na projektu odvijaće se u okviru dve grupe problema. Navešćemo pojedinosti za svaku od grupa. Prva grupa pitanja vezana je za ponašanje viskoelastičnih materijala. Postoje mnoge teorije koje opisuju mehaničko ponašanje materijala viskoelastičnog tipa, t.j. materijala koji uključuju u sebe elastična i viskozna svojstva. U poslednje vreme intenzivno se razvija jedan pravac u teoriji viskoelastičnosti koji u matematičko medeliranje viskoelastičnih tela uvodi pojam frakcionog, t.j. izvoda realnog reda mere deformacija. U ovoj oblasti učesnici na projektu su angažovani već duže vreme i izgradili su specifičan, originalni pristup ovoj problematici. Pristup se zasniva na korišćenju fundamentalnih zakona fizike u formulisanju konstitutivnih jednačina viskoelastičnog tela frakcionog tipa. Tu se pre svega misli na drugi zakon termodinamike iz koga slede restrikcije na koeficijente i funkcije u konstitutivnim jednačinama. U našim razmatranjima, koristićemo uslove koji slede iz Klauzijus-Dijemove nejednakosti za slučaj kada su deformacije izotermne i kada se svode na uslov o pozitivnosti disipacionog rada. U početnom delu istraživanja odredićemo restrikcije na koeficijente za visloelastično telo opisano konstitutivnom jednačinom koja u sebi uključuje više različitih izvoda realnog reda mera deformacije i napona. Za ovakav slučaj do sada nisu određene restrikcije koje nalaže drugi zakon termodinamike. Osim toga, proučavaćemo i konstitutivne jednačine opisane necelim izvodima raspoređenog reda, t.j. konstitutivne jednačine koje u sebi sadrže sve izvode napona i deformacije, otežane određenim funkcijama, u intervalu od nula do dva. Time se u razmatranje uključuju elastični, viskoelastični i viskoinercijalni efekti. Na ovom polju učesnici projekta su već dobili određene rezultate (videti spisak referenci). Koristeći ovako formulisane konstitutivne jednačine formiraće se granični problemi za neke klase deformacija viskoelastičnih tela, pre svega jednodimenzionalnog kontinuuma, t.j. štapa konačne i beskonačne dužine. Za ove probleme ispitivaće se, sa stanovišta primene, tri najznačajnija problema: problem puzanja, relaksacije napona i prinudnih oscilacija izazvanih periodičnom pobudom, uključivši i problem rezonancije. Za svaki od ovih problema ispitaće se egzistencija i asimptotsko ponašanje rešenja, kao i pitanje kvazistatičke aproksimacije rešenja. Ovako formulisani modeli viskoelastičnih tela odgovaraju, u graničnim slučajevima, problemima difuzije i prostiranja talasa. Svaki od ovih specifičnih problema biće posebno analiziran. Pri tome, posebna pažnja će biti posvećena brzini prostiranja poremećaja, koja je za difuzne procese beskonačna, a za talasne konačna. Kod štapova konačne dužine, u slučaju talasnih kretanja, ispitaće se problemi vezani za refleksiju talasa od krajeva štapa i uticaj refleksije na stanje napona i deformacije. Poseban deo ovih istraživanja odnosi se na pitanja vezana za varijacionu formulaciju diferencijalnih jednačina opisanih necelim izvodima. Poznato je da uslovi stacionarnosti funkcionala u kojima se javljaju neceli izvodi, dovode do Ojler-Lagranževih jednačina u kojima se javljaju i levi i desni frakcioni izvodi. U našim istrživanjima bavićemo se egzistencijom rešenja ovakvih jednačina, kao i načina dobijanja ovih rešenja. Osim toga, ispitaćemo i mogućnost formulisanja komplementarnih varijacionih problema kada Lagranžijani sadrže frakcione izvode. Pošto se formulišu komplementarni problemi koristili bi se direktno metodi varijacionog računa za dobijanje rešenja Ojler-Lagranževih jednačina. Osim toga, formulisaće se i metodi za ocenu greške približnih rešenja, koji bi bili razvijeni po ugledu na potojeće procedure za Lagranžijane sa celobrojnim izvodima. Teorijski rezultati dobijeni u prvom delu istraživanja će biti primenjeni na specifičnu vrstu viskoelastičnih materijala koji se koriste u stomatologiji kao ispune za kavitete. U ranijim istraživanjima učesnika projekta pokazano je da se kompozitni materijali u stomatologiji mogu uspešno modelirati kao viskoelastična tela frakcionog tipa. Pošto kompoziti imaju svojstvo zapreminske kontrakcije u njima se javlja pojava relaksacije napona koja ako nije kontrolisana izaziva prskotine na marginama ispune. U našim istraživanjima, ispitaćemo ovaj fenomen i predložiti polimerizacione procedure koje mogu imati klinički značaj u stomatologiji. U okviru ovih istraživanja, ispitaćemo i mogućnosti primene pseudoelastičnih konstitutivnih jednačina na modeliranje mehaničkog ponašanja stomatoloških uređaja. U drugoj osnovnoj oblasti naših istraživanja ispitivaćemo teorijske osnove za optimalno oblikovanje elastičnih štapova otpornih na izvijanje. U ovoj oblasti, koristićemo Pontrijaginov princip maksimuma za određivanje optimalnog oblika štapa. Pri tome, posebna pažnja će biti poklonjena graničnim uslovima kod kojih se javlja bimodalna optimizacija. Matematički, to znači da sopstvena vrednost specifičnog spektralnog problema opisanog sa četiri diferencijalne jednačine prvog reda ima geometrijsku multiplikativost dva, ili više. Teorijske osnove za primenu Pontrijaginovog principa dobijene su ranije od strane učesnika ovog projekta. U našim daljim istraživnjima planiramo da u optimizacionu proceduru uvedemo ograničenja na minimalnu i maksimalnu vrednost površine poprečnog preseka. Ograničenja na minimalnu vrednost su do sada formulisana u literaturi, dok ograničenja na maksimalnu i minimalnu vrednost istovremeno do sada nisu tretirana. Posebna pažnja će biti posvećena egzistenciji prvog integrala jednačina koje opisuju proces. Ovaj integral će biti korišćen za praćenje greške numeričke integracije. Ispitivanje poslekritičnog ponašanja optimalno oblikovanog štapa predstavlja važnu oblast u teoriji elastičnih štapova. U našim istraživanjima ćemo koristi u prvom delu opisanu proceduru baziranu na Pontrijaginovom principu za ispitivanje poslekritičnog ponašanja. Pri tome planiramo da koristimo energijski kriterijum za selekciju stvarnog rešenja izemđu više rešenja koja se granaju iz položaja ravnoteže.
Istraživanja predložena u ovom projaktu značajna su iz dva razloga i to: teorijskog i praktičnog. Teorijski razlozi su:
1. Istraživanje dopustivih oblika konstitutivnih jednačina viskoelastičnog tela ima veliki teorijski značaj. Za standardnu viskoelastičnost opisanu celobrojnim izvo dima uslovi saglasnosti konstitutivnih jedanačina sa fundamentalnim zakonima fizike (Princip determinizma, Drugi zakon termodinamike, Princip jednake prisutnosti (Principle of equi-presence),...) su poznati. Za viskoelastičnost frakcionog tipa ovi uslovi nisu poznati i njihovo određivanje predstavlja važan teorijski zadatak. Značaj rezultata koji se očekuje sastoji se u tome da će se u eksperimentalnim istraživanjima (koja će se kod nas odnositi na stomatološke materijale) koristiti samo oni oblici konstitutivnih jednačina koji su u saglasnosti sa fundamentalnom zakonima fizike. Ovo znači da će se pri određivanju vremena relaksacije voditi računa o tome da vreme relaksacije napona mora biti manje od vremena relaksacije deformacija. Za ovako formulisane konstitutivne jednačine rešiće se neki standardni test problemi u kojima će se ispitati paktični značaj teorijski dobijenih rezultata. Pri tome posebna pažnja će se obratiti na vezu između ograničenja koja nalažu zakoni fizike i njihovim matematičkim ekvivalentima. Tu mislimo na relacije tipa: entropija raste (Drugi zakon termodinamike zadovoljen), sve nule određenog karakterističnog polinoma imaju negativan realni deo. Ovakve relacije pokazuju duboku vezu između zakona fizike i njihovih matematičkih konsekvenci. Dobro je poznato da mehanički sistemi koji se mogu opisati varijacionim principima omogućavaju primenu direktnih metoda varijacionog računa za pronalaženje približnih rešenja Ojler-Lagranževih jednačina. Od velikog je interesa da postoje procedure sa kojima je moguće oceniti a priori grešku ovih približnih rešenja. Komplementarni varijacioni principi koji će se razvijati u ovim istraživanjima biće primenjeni za ocenu greške frakcionih diferencijalnih jednačina u kojima se javljaju levi i desni Riman-Liuvil-ovi frakcioni izvodi. Ovo je veoma značajno pošto diferencijalne jednačine kod kojih se javljaju oba tipa izvoda nije moguće analizirati standardnim metodama (metodama integralnih transformacija).
2. Istraživanja optimalnih oblika elastičnih štapova značajna su kako sa praktičnog tako i sa teorijskog aspekta. Naime, smanjenje težine konstrukcije je zahtev koji se u savremenom projektovanju sve više nameće kao ključni. Pri tome, osim što je laka konstrukcije mora zadovoljiti i uslove čvrstoće i stabilnosti. U našim istraživanjima bavićemo se primenom savremenih matematičkih metoda baziranih na Pontrijaginovom principu maksimuma za određivanje optimalnog oblika koji će imati najmanju masu, a pri toma će biti stabilan. Pošto se pri projektovanju pojavljuju i drugi zahtevi osim stabilnosti (maksimalni naponi ne prelaze unapred zadate granice) veoma je značajno ta dodatna ograničenja uvesti u optimizacione procedure. Ova ograničenja dovode do promene matematičke strukture problema. Na primer, prostor nula određenog linearnog operatora menja svoju strukturu i javlja se geometrijska multiplikativnost određenih sopstvenih vrednosti. Ispitivanje ovih problema značajno je kako sa matematičkog tako i sa praktičnog stanovišta. Praktični razlozi za značaj ovih istraživanja su:
3. U istraživanjima će teorijski rezultati biti primenjeni na matematičko modeliranje stomatoloških materijala. Poznato je da se visoki polmeri (kompoziti) koji se koriste u stomatologiji mogu modelirati kao viskoelastični materijali. U našim istraživanjima primenićemo teoriju viskoelastičnosti za procenu marginalne adaptacije kompozita kao i za predlog procedure polimerizacije, primenljive u kliničkim uslovima, kojom se poboljšava marginalna adaptacija. Osim toga, korišćenjem teorije zamora pseudoelastičnih materijala odrediće se i praktično proveriti, vek stomatoloških uređaja koji su tokom rada izloženi obrtanju a načinjeni su od pseudoelastičnih materijala.
Ključni rezultati koji se očekuju kod ovih istraživanja mogu se klasifikovati na sledeći način:
1. Formulisaće se konstitutivne jednačine linearne viskoelastičnosti u kojima se javljaju neceli (frakcioni) izvodi napona i deformacija. Pri tome analiziraće se slučaj kada broj i red izvoda napona i deformacija nisu isti. Odrediće se ograničenja koja Drugi zakon termodinamike nalaže na koeficijente i frakcione izvode u ovoj konstitutivnoj jednačini. Formulisaće se konstitutivna jednačina viskoelastičnog tela sa raspoređenim frakcionom izvodima kod koje se osim težinskih funkcija mogu javljati i težinske distribucije. Formiraće se granični problemi koji odgovaraju standardnim situacijama koje se javljaju u praksi. Prema tome formulisaće se tri tipa graničnih problema za sistem jednačina koji se sastoji od parcijalnih celobrojnih i frakcionih jednačina. To su problemi koji odgovaraju puzanju, relaksaciji napona i prinudnim oscilacijama izazvanim perodičnom silom. Za svaki od ovih problema ispitaće se uslovi egzistencije rešenja i njihove regularnosti. Odrediće se asimptotsko ponašanje rešanja korišćenjem teorema Tauberovog tipa. Analiziraće se štapovi konačne dužine. Za slučaj štapova beskonačne dužine ispitaće se prostiranje talasa, njihova brzina i prigušenje. Formulisaće se uopšteni varijacioni principi Hamiltonovog tipa za slučaj kada se u Lagranževoj funkciji javljaju frakcioni izvodi konstantnog i promenljivog reda. Odrediće se neophodni uslovi za egzistenciju komplementarnih varijacionih principa frakcionog reda i formulisati procedura za a priori ocenu greške približnih rešenja Ojler-Lagranževih jednačina preko komplementarnih varijacionih principa. Rezultati dobijeni u ovom delu koristiće se za modeliranje stomatoloških materijala u kojima se javljaju memorijski i viskoelastični efekti. Razviće se matematički model dentalnih kompozita baziran na viskoelastičnosti frakcionog tipa. Za stomatološke uređaje načinjene od pseudoelastičnih materijala (nitinol) razviće se matematička procedura ocene veka uređaja bazirana na zamoru ovakvih materijala.
2. Razviće se optimizacione procedure bazirane na Pontrijaginovom principu maksimuma pomoću kojih će se odrediti optimalni oblik elastičnog štapa otpornog na izvijanje. Pri tome procedura će biti takva da je moguće analizirati jedno i višemodalno izvijanje. Uvešće se tri tipa ograničenja na površinu poprečnog preseka i to:
- površina poprečnog preseka je veća od unapred zadate velične,
- površina poprečnog preseka je manja od unapred zadate velične,
- površina poprečnog preseka se menja između unapred zadatih veličina.
Za svaki od ovih slučajeva ispitaće se mogućnost jedno i višemodalnog izvijanja, a u slučajevima kada su oba tipa izvijanja moguća odrediće se granica koja ih razdvaja. Ispitaće se poslekritično ponašanje optimalno oblikovanog štapa. Pri tome numerički će se odrediti broj i kvalitativna svojstva rešenja koja se granaju iz trivijalnog položaja ravnoteže. Ispitaće se stabilnost svakog od tih rešenja energijskim metodom.